সৃজনশীলঃ ‘P(x)=ax2−12x+c−2.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$P\left(x\right)=a{x}^2-12x+c-2$ এবং $a=27$

শর্তমতে,

$P\left(x\right)=0$

$\therefore 27x^2-12x+c-2=0\dots \dots \left(i\right)$

ধরি,

$\left(i\right)$ নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$

যেহেতু একটি মূল অপরটির বর্গের সমান, তাই অপর মূলটি হবে ${\alpha }^2$

মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha +{\alpha }^2=-\frac{-12}{27}=\frac{4}{9}$

মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{c-2}{27}\Rightarrow {\alpha }^3=\frac{c-2}{27}$

এখন,

$\alpha +{\alpha }^2=\frac{4}{9}$

উভয়পক্ষকে ঘন (Cube) করে পাই,

$\Rightarrow {(\alpha +{\alpha }^2)}^3={\left(\frac{4}{9}\right)}^3$

$\Rightarrow {\alpha }^3+{\left({\alpha }^2\right)}^3+3\alpha \cdot {\alpha }^2(\alpha +{\alpha }^2)=\frac{64}{729}$

$\Rightarrow {\alpha }^3+{\left({\alpha }^3\right)}^2+3{\alpha }^3(\alpha +{\alpha }^2)=\frac{64}{729}$

মান বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow \frac{c-2}{27}+{\left(\frac{c-2}{27}\right)}^2+3\cdot \left(\frac{c-2}{27}\right)\left(\frac{4}{9}\right)=\frac{64}{729}$

$\Rightarrow \frac{c-2}{27}+\frac{(c-2{)}^2}{729}+\frac{12(c-2)}{243}=\frac{64}{729}$

উভয়পক্ষকে $729$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\Rightarrow 27(c-2)+(c-2{)}^2+36(c-2)=64$

$\Rightarrow 27c-54+c^2-4c+4+36c-72-64=0$

$\Rightarrow c^2+(27-4+36)c-54+4-72-64=0$

$\Rightarrow c^2+59c-186=0$

এটি $c$ এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

$\therefore c=\frac{-59\pm \sqrt{(59{)}^2-4\cdot 1\cdot (-186)}}{2\cdot 1}$

$c=\frac{-59\pm \sqrt{3481+744}}{2}$

$c=\frac{-59\pm \sqrt{4225}}{2}$

$c=\frac{-59\pm 65}{2}$

হয়, $c=\frac{-59+65}{2}=\frac{6}{2}=3$

অথবা, $c=\frac{-59-65}{2}=\frac{-124}{2}=-62$

নির্ণেয় মান: $c=3$ অথবা $-62$

দেওয়া আছে,

$P\left(x\right)=a{x}^2-12x+c-2$

এখানে $a=-14$ এবং $c=1$ বসালে পাই,

$P\left(x\right)=-14x^2-12x+1-2=-14x^2-12x-1$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$8x^3+19x+P\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 8x^3+19x-14x^2-12x-1=0$

$\Rightarrow 8x^3-14x^2+7x-1=0\dots \dots \left(i\right)$

ধরি,

$\left(i\right)$ নং ত্রিঘাত সমীকরণের মূল তিনটি গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত (Geometric Progression) হওয়ায় মূলত্রয় হলো: $\frac{\alpha }{r},\alpha ,\alpha r$

মূল তিনটির গুণফল,

$\frac{\alpha }{r}\cdot \alpha \cdot \alpha r=-\frac{-1}{8}$

$\Rightarrow {\alpha }^3=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow {\alpha }^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

$\therefore \alpha =\frac{1}{2}$

আবার, মূল তিনটির যোগফল,

$\frac{\alpha }{r}+\alpha +\alpha r=-\frac{-14}{8}=\frac{7}{4}$

$\Rightarrow \alpha (\frac{1}{r}+1+r)=\frac{7}{4}$

$\alpha =\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{1+r+r^2}{r}\right)=\frac{7}{4}$

$\Rightarrow \frac{r^2+r+1}{r}=\frac{7}{2}$

$\Rightarrow 2r^2+2r+2=7r$

$\Rightarrow 2r^2-5r+2=0$

$\Rightarrow 2r^2-4r-r+2=0$

$\Rightarrow 2r(r-2)-1(r-2)=0$

$\Rightarrow (r-2)(2r-1)=0$

হয় $r-2=0\Rightarrow r=2$

অথবা $2r-1=0\Rightarrow r=\frac{1}{2}$

এখন, $\alpha =\frac{1}{2}$ এবং $r=2$ হলে মূলত্রয় হবে:

$\frac{\frac{1}{2}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\cdot 2\Rightarrow \frac{1}{4},\frac{1}{2},1$

আবার, $\alpha =\frac{1}{2}$ এবং $r=\frac{1}{2}$ হলে মূলত্রয় হবে:

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\Rightarrow 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$

নির্ণেয় মূলত্রয়: $\frac{1}{4},\frac{1}{2},1$