সৃজনশীলঃ ‘P(x)=ax2+bx+c,Q(x)=cx2+bx+a এবং z¯=x+iy…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\overline{z}=x+iy\therefore z=x-iy$ এখানে, $|z+3|+|\overline{z}-3|=10$
বা, $|x-iy+3|+|x+iy-3|=10$
বা, $\left|\right(x+3)-iy|+|(x-3)+iy|=10$
বা, $\sqrt{(x+3{)}^2+(-y{)}^2}+\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}=10$
বা, $\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}=10$
বা, $\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=10-\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}$ 

বा, ${\left(\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}\right)}^2={(10-\sqrt{(x-3{)}^2+y^2})}^2$ [বর্গ করে] 

বা $(x+3{)}^2+y^2=100-20\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}+(x-3{)}^2+y^2$ 

বা, $(x+3{)}^2-(x-3{)}^2=100-20\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}$
বা, $4\cdot 3x=100-20\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}$
বা, $3x=25-5\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}$ বा, $5\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}=25-3x$
বা, ${\left(5\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}\right)}^2=(25-3x{)}^2$ [পুনরায় বর্গ  করে]
বা, $25(x^2-6x+9+y^2)=625-150x+9x^2$
বা, $25x^2-150x+25y^2+225=9x^2-150x+625$
বা, $16x^2+25y^2=400$
বা, $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
বা, $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$; যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে এবং এটিকে $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1;a>b$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a=5,b=4;a>b$

$\therefore$ উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক  $\equiv (\pm a,0)\equiv (\pm 5,0)$.

দেওয়া আছে, $q\left(x\right)=l^2+\mathrm{mx}+n$ এবং $q\left(x\right)=0$

 $\therefore l{x}^2+mx+n=0$. $...............\left(i\right)$

আবার, $r\left(x\right)=\mathrm{nx}{x}^2+\mathrm{mx}+l$ এবং $r\left(x\right)=0$ 

$\therefore {\mathrm{nx}}^2+\mathrm{mx}+l=0$. $...............\left(ii\right)$

এখানে, $\left(ii\right)$নং সমীকরণের একটি মূল $\left(i\right)$ নং সমীকরণের একটি মৃলের দিগুণ। মনে করি, $\left(i\right)$ নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$
$\therefore$$\left(ii\right)$ নং সমীকরণের একটি মৃল $2\alpha$.
$\left(i\right)$ নং সমীকরণ হতে পাই, $l{\alpha }^2+m\alpha +n=0$$...............\left(iii\right)$
$\left(ii\right)$নং সমীকরণ হতে পাই, $n(2\alpha {)}^2+m\cdot 2\alpha +l=0$

বা, $4n{\alpha }^2+2m\alpha +l=0$$...............\left(iv\right)$

$\begin{array}{cc}& \frac{{\alpha }^2}{lm-2mn}=\frac{\alpha }{4n^2-l^2}=\frac{1}{2lm-4mn}\\ \therefore & \frac{{\alpha }^2}{lm-2mn}=\frac{1}{2lm-4mn}\end{array}$ 

বा, $\frac{{\alpha }^2}{lm-2mn}=\frac{1}{2(lm-2mn)}$
বा, ${\alpha }^2=\frac{1}{2}$

$\therefore \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

আবার, $\frac{{\alpha }^2}{lm-2mn}=\frac{\alpha }{4n^2-l^2}$
বা, $\frac{\alpha }{lm-2\mathrm{mn}}=\frac{1}{(2n{)}^2-l^2}$
বা, $\frac{\pm \frac{1}{\sqrt{2}}}{-m(2n^2-l)}=\frac{1}{(2n+l)(2n-l)}$
বা, $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2n+l)(2n-l)=-m(2n-l)$
বা, $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2n+l)(2n-l)+m(2n-l)=0$
বা, $(2n-l)\{m\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2n+l\left)\right\}=0$

হয়, $2n-1=0$ 

$\therefore l=2n$ 

অथবা, $m\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(2n+l)=0$
বा, $\sqrt{2}m\pm (2n+l)=0$
বा, $\sqrt{2}m=\pm (2n+l)$
বা, $2m^2=(l+2n{)}^2$ [বর্গ করে] 

অতএব, $l=2n$ অথবা $2m^2=(l+2n{)}^2$. (দেখানো হলো)

[বি: দ্র: l, m এবং n এর পরিবর্তে যথাক্রমে a, b এবং c হবে]