সৃজনশীলঃ ‘P(x)=cos⁡x,x236+y225=1.…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=\cos x$

$\therefore \int x^{2}p\left(x\right)\mathrm{dx}=\int x^2\cos xdx$

$=x^2\int \cos xdx-\int \{\frac{d}{dx}{x}^2\int \cos xdx\}dx$

$=x^2\sin x-\int 2x\sin xdx$

$=x^2\sin x-2[x\int \sin xdx-\int \{\frac{d}{dx}x\int \sin xdx\}dx]$

$=x^2\sin x-2[-x\cos x-\int 1(-\cos x\left)dx\right]$

$=x^2\sin x-2[-x\cos x+\sin x]+c$

$=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+c$

$\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^{2}P\left(x\right)dx={[x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=(\frac{{\pi }^2}{4}\cdot 1+2\cdot \frac{\pi }{2}\cdot 0-2\cdot 1)-(0+0-0)$

$=\frac{{\pi }^2}{4}+0-2$

$=\frac{{\pi }^2}{4}-2$

$=\frac{{\pi }^2-8}{4}$

নির্ণেয় মান : $\frac{{\pi }^2-8}{4}$.

প্রদত্ত উপবৃত্তটি, $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$

বা,$\frac{y^2}{25}=1-\frac{x^2}{36}$

বা, $y^2=\frac{25}{36}(36-x^2)$

বা,$y=\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}$

$\therefore$ উপবৃত্ত ও রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল

$=2{\int }_3^{6}ydx$

$=2{\int }_3^6\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}dx$

$=\frac{5}{3}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{36-36{\sin }^2\theta }\cdot 6\cos \theta d\theta$

$=10{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}6\cdot \sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot \cos \theta d\theta$

$=60{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \cdot \cos \theta d\theta$

$=30{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}2{\cos }^2\theta d\theta =30{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta$

$=30{[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}$

$=30[(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin \pi }{2})-(\frac{\pi }{6}+\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{2})]$

$=30(\frac{\pi }{3}+0-\frac{\sqrt{3}}{4})$

$=10\pi -\frac{15\sqrt{3}}{2}$বর্গ একক।

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : $10\pi -\frac{15\sqrt{3}}{2}$ বর্গ একক।