সৃজনশীলঃ ‘p(x)=mx3+nx2+qx+r…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)={\mathrm{mx}}^3+{\mathrm{nx}}^2+\mathrm{qx}+r$

$P\left(x\right)=0$ হলে, ${\mathrm{mx}}^3+{\mathrm{nx}}^2+\mathrm{qx}+r=0$

প্রদত্ত সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha ,\beta ,\gamma$

$\therefore \alpha +\beta +\gamma =\frac{-n}{m}$

বা, $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{q}{m}$

$\alpha \beta \gamma =\frac{-r}{m}$

এখন, $\Sigma {\alpha }^3$

$={\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$

$={\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3-3\alpha \beta \gamma +3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\{({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-\alpha \beta -\beta \gamma -\gamma \alpha )+3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\left\{\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\}+3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\left\{\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-3(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\}+3\alpha \beta \gamma$

$=\frac{-n}{m}\{\frac{n^2}{m^2}-3\frac{q}{m}\}+3\frac{-r}{m}$

$=\frac{-n^3}{m^3}+\frac{3qn}{m^2}-\frac{3r}{m}$

$=\frac{-n^3+3mnq-3m^{2}r}{m^3}=\frac{3mnq-3m^{2}r-n^3}{m^3}$

$\therefore \Sigma {\alpha }^3=\frac{3mnq-3m^{2}r-n^3}{m^3}$

$P\left(x\right)=m{x}^3+n{x}^2+qx+r$

$P\left(x\right)=0$ হলে, $m{x}^3+n{x}^2+qx+r=0$

বা, $0+2x^2+x-1=0$

$[\because m=0,n=2,q=1,r=-1]$

বা, $2x^2+x-1=0$

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\beta =\frac{-1}{2}$ এবং $\alpha \beta =\frac{-1}{2}$

নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় $(\alpha +\beta )$ ও $|\alpha -\beta |$

$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$

$=\frac{1}{4}-4\cdot \frac{-1}{2}=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$

বা, $\alpha -\beta =\pm \frac{3}{2}$

$\therefore |\alpha -\beta |=\frac{3}{2}$

নির্ণেয় সমীকরণ : $x^2-\left\{\right(\alpha +\beta )+|\alpha -\beta |\}x+(\alpha +\beta )\cdot |\alpha -\beta |=0$

বা, $x^2-(\frac{-1}{2}+\frac{3}{2})x+\frac{-1}{2}\cdot \frac{3}{2}=0$

বা, $x^2-x-\frac{3}{4}=0$

বা, $4x^2-4x-3=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $4x^2-4x-3=0$.