সৃজনশীলঃ ‘P(x)=(x2+5)(x2−4) একটি বহুপদী।…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=(x^2+5)(x^2-4)$

$P\left(x\right)$ কে $(x-m)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P\left(m\right)$.

অর্থাৎ, $P\left(m\right)=(m^2+5)(m^2-4)$

এবং $P\left(x\right)$ কে $(x-n)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P\left(n\right)$ ।

অর্থাৎ $P\left(n\right)=(n^2+5)(n^2-4)$.

শর্তমতে, $P\left(m\right)=P\left(n\right)$

বা, $(m^2+5)(m^2-4)=(n^2+5)(n^2-4)$

বা, $m^4-4m^2+5m^2-20=n^4-4n^2+5n^2-20$

বা, $m^4+m^2-20=n^4+n^2-20$

বা, $m^4-n^4+m^2-n^2-20+20=0$

বা, ${\left(m^2\right)}^2-{\left(n^2\right)}^2+(m^2-n^2)=0$

বা, $(m^2+n^2)(m^2-n^2)+(m^2-n^2)=0$

বা, $(m^2-n^2)(m^2+n^2+1)=0$

বা, $(m+n)(m-n)(m^2+n^2+1)=0$

বা, $(m-n)\left\{\right(m+n\left)(m^2+n^2+1)\right\}=0$

বা, $(m-n)(m^3+m{n}^2+m+m^{2}n+n^3+n)=0$

বা, $(m-n)(m^3+n^3+m^{2}n+n{m}^2+m+n)=0$

হয়, $m-n=0$

অথবা, $m^3+n^3+m^{2}n+n{m}^2+m+n=0$

বা, $m=n$ কিন্তু ইহা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ $m\ne n$

$\therefore m^3+n^3+m^{2}n+n{m}^2+m+n=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=(x^2+5)(x^2-4)$

$\therefore (x+2)(x-2)(x^2+5)$

$\therefore \frac{x^3}{P\left(x\right)}=\frac{x^3}{(x+2)(x-2)(x^2+5)}$

ধরি, $\frac{x^3}{(x+2)(x-2)(x^2+5)}\equiv \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+5}\dots \dots \left(1\right)$

(1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে $(x+2)(x-2)(x^2+5)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^3\equiv A(x-2)(x^2+5)+B(x+2)(x^2+5)$

$+(Cx+D)(x+2)(x-2)$ ........... (2)

বা, $x^3\equiv A(x^3+5x-2x^2-10)$$+B(x^3+5x+2x^2+10)+(Cx+D)(x^2-4)$

বা, $x^3\equiv A{x}^3+5Ax-2A{x}^2-10A+B{x}^3$$+5Bx+2B{x}^2+10B+C{x}^3-4Cx+D{x}^2-4D$

বা, $x^3\equiv (A+B+C)x^3+(-2A+2B+D)x^2$

$+(5A+5B-4C)x+(-10A+10B-4D)\dots \dots \dots \left(3\right)$

(2) নং সমীকরণে $x=-2,2$ বসিয়ে পাই,

$(-2{)}^3=A(-2-2)\left\{\right(-2{)}^2+5\}+B(-2+2)\left\{\right(-2{)}^2+5\}$

$+\left\{C\right(-2)+D\}(-2+2)(-2-2)$

বা, $-8=A(-4)(4+5)+0+0$

বা, $-8=-36A$

বা, $A=\frac{-8}{-36}$

$\therefore A=\frac{2}{9}$

আবার, $(2{)}^3=A(2-2)(2^2+5)+B(2+2)(2^2+5)$

$+(C\times 2+D)(2+2)(2-2)$

বা, $8=0+B\times 4\times 9+0$

বা, $8=36B$

বা, $B=\frac{8}{36}$

$\therefore B=\frac{2}{9}$

(3) নং সমীকরণ হতে $x^3$ ও $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B+C=1$

বা, $\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+C=1$

বা, $C=1-\frac{2}{9}-\frac{2}{9}=\frac{9-2-2}{9}$

$\therefore C=\frac{5}{9}$

এবং $-2A+2B+D=0$

বা, $-2\times \frac{2}{9}+2\times \frac{2}{9}+D=0$

বা, $-\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+D=0$

$\therefore D=0$

A, B, C ও D এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x^3}{(x+2)(x-2)(x^2+5)}\equiv \frac{\frac{2}{9}}{x+2}+\frac{\frac{2}{9}}{x-2}+\frac{\frac{5}{9}x+0}{x^2+5}$

$=\frac{2}{9(x+2)}+\frac{2}{9(x-2)}+\frac{5x}{9(x^2+5)}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।