সৃজনশীলঃ ‘p(x)=x3−3×2−10…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $M(r,s,t)=r^3+s^3+t^3$

এখন, $M(r,s,t)=3\mathrm{rst}$ হলে, $r^3+s^3+t^3=3\mathrm{rst}$

বা, $r^3+s^3+t^3-3rst=0$

বা, $\frac{1}{2}(r+s+t)\left\{\right(r-s{)}^2+(s-t{)}^2+(t-r{)}^2\}=0$

বা, $(r+s+t)\left\{\right(r-s{)}^2+(s-t{)}^2+(t-r{)}^2\}=0$

হয়, $r+s+t=0$ অথবা, $(r-s{)}^2+(s-t{)}^2+(t-r{)}^2=0$

কিন্তু কতগুলো বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে তার প্রত্যেকটির মান শূন্য হয়।

অর্থাৎ, $(r-s{)}^2=0$

বা, $r-s=0$

$\therefore r=s$

অর্থাৎ, $r=s=t$

অথবা, $(s-t{)}^2=0$

বা, $s-t=0$

$\therefore s=t$

সুতরাং $r+s+t=0$ অথবা, $r=s=t.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $p\left(x\right)=x^3-3x^2-10$

প্রদত্ত রাশি $=\frac{p\left(x\right)}{x^2-3x-40}=\frac{x^3-3x^2-10}{x^2-3x-40}$

$=\frac{x(x^2-3x-40)+40x-10}{x^2-3x-40}$

$=\frac{x(x^2-3x-40)}{x^2-3x-40}+\frac{40x-10}{x^2-3x-40}$

$=x+\frac{40x-10}{x^2-3x-40}=x+\frac{40x-10}{x^2-8x+5x-40}$

$=x+\frac{40x-10}{x(x-8)+5(x-8)}=x+\frac{40x-10}{(x-8)(x+5)}$

মনে করি, $\frac{40x-10}{(x-8)(x+5)}\equiv \frac{A}{x-8}+\frac{B}{x+5}$ ........ (1)

(1) নং সমীকরণকে $(x-8)(x+5)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$40x-10\equiv A(x+5)+B(x-8)$ ........ (2)

(2) নং সমীকরণে $x=-5,8$ বসিয়ে পাই,

$40\times (-5)-10=A(-5+5)+B(-5-8)$

বা, $-200-10=A\times 0+B\times (-13)$

বা, $-210=-13B$

বা, $B=\frac{-210}{-13}$

$\therefore B=\frac{210}{13}$

আবার, $40\times 8-10=A(8+5)+B(8-8)$

বা, $320-10=A\times 13+B\times 0$

বা, $310=13A$

বা, $\frac{310}{13}=A$

$\therefore A=\frac{310}{13}$

(1) নং সমীকরণে A ও B এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{40x-10}{(x-8)(x+5)}\equiv \frac{\frac{310}{13}}{(x-8)}+\frac{\frac{210}{13}}{x+5}\equiv \frac{310}{13(x-8)}+\frac{210}{13(x+5)}$

$\therefore \frac{p\left(x\right)}{x^2-3x-10}=x+\frac{310}{13(x-8)}+\frac{210}{13(x+5)}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।