সৃজনশীলঃ ‘P(x)=x3−4×2+x+6…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-4x^2+x+6$

যেহেতু $P\left(x\right)$ কে $x-a$ এবং $x-b$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ একই থাকে

$\therefore P\left(a\right)=P\left(b\right)$

বা, $a^3-4a^2+a+6=b^3-4b^2+b+6$

বা, $a^3-b^3-4a^2+4b^2+a-b=0$

বা, $(a-b)(a^2+ab+b^2)-4(a+b)(a-b)+(a-b)=0$

বা, $(a-b)(a^2+ab+b^2-4a-4b+1)=0$

হয়, $a-b=0$ অথবা, $a^2+\mathrm{ab}+b^2-4a-4b+1=0$

কিন্তু $a\ne b$ (প্রশ্নানুসারে)

$\therefore a^2+\mathrm{ab}+b^2-4a-4b+1=0$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-4x^2+x+6$

$=x^3+x^2-5x^2-5x+6x+6$

$=x^2(x+1)-5x(x+1)+6(x+1)$

$=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x^2-3x-2x+6)$

$=(x+1)\left\{x\right(x-3)-2(x-3\left)\right\}=(x+1)(x-2)(x-3)$

মনে করি, $\frac{x^2+5}{P\left(x\right)}=\frac{x^2+5}{(x+1)(x-2)(x-3)}$$\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}\dots \dots \left(i\right)$

(i) এর উভয়পক্ষকে $(x+1)(x-2)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $x^2+5\equiv A(x-2)(x-3)+B(x+1)(x-3)+C(x+1)(x-2)$ ......... (ii)

(ii) নং অভেদ এর উভয়পক্ষে $x=-1$ বসিয়ে পাই,

$(-1{)}^2+5=A(-3\left)\right(-4)+B.0+C.0$

বা, $6=12A\therefore A=\frac{1}{2}$

(ii) নং অভেদ এর উভয়পক্ষে $x=3$ বসিয়ে পাই,

$(3{)}^2+5=A\cdot 0+B\cdot 0+C(4\left)\right(1)$

বা, $14=4C\therefore C=\frac{7}{2}$

A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2+5}{(x+1)(x-2)(x-3)}$$=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{3}{x-2}+\frac{7}{2(x-3)}$ (Ans.)