সৃজনশীলঃ ‘P(x)=x3−6×2+11x−6.…’ যশোর বোর্ড ২০১৭ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$ 
$P\left(x\right)$ কে $x-m$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ,

$P\left(m\right)=m^3-6m^2+11m-6$

এবং $P\left(x\right)$ কে $x-n$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ,

$P\left(n\right)=n^3-6n^2+11n-6$

শর্তমতে, $P\left(m\right)=P\left(n\right)$
বা, $m^3-6m^2+11m-6=n^3-6n^2+11n-6$
বা, $m^3-n^3-6m^2+6n^2+11m-11n-6+6=0$
বা, $m^3-n^3-6(m^2-n^2)+11(m-n)=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2)-6(m+n)(m-n)+11(m-n)-0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2-6m-6n+11)=0$
$\therefore m^2+mn+n^2-6m-6n+11=0[\because m\ne n$ তাই  $(m-n)\ne 0]$
(দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$ 

$\begin{array}{cc}\therefore \frac{x^3}{P\left(x\right)}& =\frac{x^3}{x^3-6x^2+11x-6}=\frac{x^3}{x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6}\\ & =\frac{x^3}{x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)}\\ & =\frac{x^3}{(x-1)(x^2-5x+6)}=\frac{x^3}{(x-1)(x^2-2x-3x+6)}\\ & =\frac{x^3}{(x-1)\left\{x\right(x-2)-3(x-2\left)\right\}}=\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\end{array}$ 

ধরি, $\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$$...\left(1\right)$
(1)নং এর উভয়পক্ষকে $(x-1)(x-2)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^3=(x-1)(x-2)(x-3)+A(x-2)(x-3)+B(x-1)$$(x-3)+C(x-1)(x-2)$$...\left(2\right)$

(2)নং-এ $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1^3=0\cdot (-1)\cdot (-2)+A\cdot (-1)\cdot (-2)+B\cdot 0\cdot (-2)+C\cdot 0\cdot (-1)$

বা, $1=0+2A-0-0$
বা, $2A=1$
বা, $A=\frac{1}{2}$
(2)নং এ $x=2$ বসিয়ে পাই,

$2^3=1\cdot 0\cdot (-1)+\text{ A. }0\cdot (-1)+\text{ B. }1\cdot (-1)+\text{ C }\cdot 1\cdot 0$

বা, $8=0-0-B+0$ বা, $-B=8$ বা, $B=-8$
(2)নং এ $x=3$ বসিয়ে পাই,

$3^3=2\cdot 1\cdot 0+\text{ A. }1\cdot 0+\text{ B. }2\cdot 0+\text{ C. }2\cdot 1$

বা, $27=0+0+0+2C$
বা, $2C=27$
বা, $C=\frac{27}{2}$
(1)নং এ A, B ও C-এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=1+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{8}{x-2}+\frac{27}{2(x-3)}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।