সৃজনশীলঃ ‘P(x,y,z)=2xy4−x2zএকটি স্কেলার রাশি…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – ভৌতজগত ও পরিমাপ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

মহাকর্ষীয় বিভর বলতে অসীম দুরত্ব থেকে একক ভরের কোন বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোন বিন্দুতে আনতে সম্পন্ন কাজের পরিমাপকে বুঝায়।

মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোন বিন্দুতে বিভর 12 J/kg^-1বোঝায়, ঐ বিন্দুতে অসীম থেকে 1 kg ভরের কোন বস্তুকে আনতে 12 J কাজ সম্পন্ন করতে হবে।

এখানে $p(x,y,z)=2x{y}^4-x^{2}z$

$\therefore \overrightarrow{p}$ এর গ্রেডিয়েন্ট,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\nabla }P=& (\hat{ı}\frac{d}{dx}+\hat{ȷ}\frac{d}{dy}+\hat{k}\frac{d}{dz})(2x{y}^4-\\ =& \hat{ı}\frac{d}{dx}(2x{y}^4-x^{2}z)+\hat{ȷ}\frac{d}{dy}\\ & (2x{y}^4-x^{2}z)+\hat{k}\frac{d}{dz}(2x{y}^4-x^{2}z)\\ =& (2y^4-2xz)\hat{ı}+8x{y}^3\hat{ȷ}-x^2\hat{k}\end{array}$

∴ ( 2,-1,-2) বিন্দুতে P – এর গ্রেডিয়েন্ট

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\nabla }P=& \left\{2x\right(-1{)}^4-2\times 2\times (-2)\}\hat{ı}\{8\times 2x(-1{)}^3\}\hat{ȷ}{2}^2\hat{k}\\ =& 10\hat{ı}-16\hat{ȷ}-4\hat{k}\left[\text{ Ans }\right]\end{array}$

$\overrightarrow{A}$ এর ডাইভারজেন্স

$\begin{array}{c}\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{A}=(\hat{ı}\frac{d}{dx}+\hat{ȷ}\frac{d}{dy}+\hat{k}\frac{d}{dz})\left\{\right(2x+y)\hat{ı}+(3y\\ +z^2)\hat{ȷ}+(-5z+x)\hat{k}\}\\ =\frac{d}{dx}(2x+y)+\frac{d}{dy}(3y+z^2)+\frac{d}{dz}(-5z+x)\\ =2+3-5\\ =0\end{array}$

$\overrightarrow{B}$ এর ডাইভারজেন্স,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{B}=& (\hat{ı}\frac{d}{dx}+\hat{ȷ}\frac{d}{dy}+\hat{k}\frac{d}{dz})\{(6xy+z^3)\hat{ı}+\\ & (3x^2-z)\hat{ȷ}+(3x{z}^2-y)\hat{k}\}\\ =& \frac{d}{dx}(6xy+z^3)+\frac{d}{dy}(3x^2-z)+\\ & \frac{d}{dz}(3x{z}^2-y)\\ =& 6y+6zx\end{array}$

$\overrightarrow{A}$ এর কার্ল,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{A}=& \left|\begin{array}{ccc}\hat{ı}& \hat{ȷ}& \hat{k}\\ \frac{d}{dx}& \frac{d}{dy}& \frac{d}{dz}\\ 2x+y& 3x+z^2& -5z+x\end{array}\right|\\ =& \hat{ı}\left\{\frac{d}{dy}\right(-5z+x)-\frac{d}{dz}(3y+z^2)\}-\\ & \hat{ȷ}\left\{\frac{d}{dx}\right(-5x+x)-\frac{d}{dz}(2x+y\left)\right\}+\\ & \hat{k}\{\frac{d}{dx}(3y+z^2)-\frac{d}{dy}(2x+y\left)\right\}\\ & =\hat{ı}(0-2z)-\hat{ȷ}(1-0)+\hat{k}(0-1)\\ & =-2z\hat{ı}-\hat{ȷ}-\hat{k}.\end{array}$

$\overrightarrow{B}$ এর কার্ল,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{ı}& \hat{ȷ}& \hat{k}\\ \frac{d}{dx}& \frac{d}{dy}& \frac{d}{dz}\\ 6xy+z^3& 3x^2-z& 3x{z}^2-y\end{array}\right|\\ & =\hat{ı}\{\frac{d}{dy}(3x{z}^2-y)-\frac{d}{dz}(3x^2-z)\}-\\ & \hat{ȷ}\{\frac{d}{dx}(3x{z}^2-y)-\frac{d}{dz}(6xy+z^3)\}+\\ & \hat{k}\{\frac{d}{dx}(3x^2-z)-\frac{d}{dy}(6xy+z^3)\}\\ & =(-1+1)\hat{ı}-(3z^2-3z^2)\hat{ȷ}+\\ & \\ & =0\end{array}$

∴ সুতরাং ভেক্টটি সলিনয়ডাল এবং$\overrightarrow{B}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীন।