সৃজনশীলঃ ‘p(x,y,z)=x−3+y−3+z−3−3x−1y−1z−1এবং f(x)=x3+x2+4x+4.…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে; $p(x,y,z)=x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}$

$p(x,y,z)=0$ হলে, $x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}=0$

বা, $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$

বা, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{y}\right)}^3+{\left(\frac{1}{z}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$

বা, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$

হয়, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=0$

বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{yz+zx+xy}{xyz}=0$

$\therefore xy+yz+zx=0$

অথবা, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$

কিন্তু, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2=0$

বা, $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$

বা, $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$

$\therefore x=y$

$\therefore x=y=z$

${(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$

বা, $\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=0$

বা, $\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$

$\therefore z=x$

অতএব, $x=y=z$ অথবা $xy+yz+zx=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3+x^2+4x+4$

$=x^2(x+1)+4(x+1)$

$=(x+1)(x^2+4)$

$\therefore \frac{x^2+4x-7}{f\left(x\right)}=\frac{x^2+4x-7}{x^3+x^2+4x+4}=\frac{x^2+4x-7}{(x+1)(x^2+4)}$

মনে করি, $\frac{x^2+4x-7}{(x+1)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$

উভয়পক্ষকে $(x+1)(x^2+4)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2+4x-7\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x+1)$

বা, $x^2+4x-7\equiv A{x}^2+4A+B{x}^2+Bx+Cx+C$

বা, $x^2+4x-7\equiv (A+B)x^2+(B+C)x+4A+C$

(2) নং সমীকরণে $x=-1$ বসিয়ে পাই,

$(-1{)}^2+4(-1)-7=A\left\{\right(-1{)}^2+4\}+\{B(-1)+C\left\}\right(-1+1)$

বা, $1-4-7=A\times 5+(-B+C)\times 0$

বা, $-10=5A+0$

বা, $5A=-10$

$\therefore A=-2$

(3)নং সমীকরণ হতে $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$1=A+B$

বা, $1=-2+B$

$\therefore B=3$

আবার, (3)নং সমীকরণ হতে $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$4=B+C$

বা, $4=3+C$

বা, $C=4-3$

$\therefore C=1$

A, B ও C-এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2+4x-7}{(x+1)(x^2+4)}\equiv \frac{-2}{x+1}+\frac{3x+1}{x^2+4}$

$\therefore \frac{x^2+4x-7}{f\left(x\right)}\equiv \frac{x^2+4x-7}{(x+1)(x^2+4)}\equiv \frac{3x+1}{x^2+4}-\frac{2}{x+1}$

যা নির্ণেয় আথশিক ভগ্নাংশ।