সৃজনশীলঃ ‘P1(x)=xP2(x)=cot−1⁡x…’ সিলেট বোর্ড ২০২১ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$P_2\left(x\right)={\cot }^{-1}x$

$\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{P}_1\left(x\right)P\left(x\right)dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x{\cot }^{-1}xdx$

$=[{\cot }^{-1}x\int xdx-\int {\left(\frac{d}{dx}({\cot }^{-1}x\int xdx)dx\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$=[\frac{x^2{\cot }^{-1}x}{2}-\int {(-\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\frac{x^2}{2}dx]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$={[\frac{x^2{\cot }^{-1}x}{2}+\int \frac{x^2}{2(1+x^2)}dx]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$={[\frac{x^2{\cot }^{-1}x}{2}+\int \frac{1+x^2-1}{2(1+x^2)}dx]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$={[\frac{x^2{\cot }^{-1}x}{2}+\int \{\frac{1}{2}-\frac{1}{2(1+x^2)}\}dx]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$={[\frac{x^2{\cot }^{-1}x}{2}+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2}]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$={[\frac{x^2{\cot }^{-1}x}{2}+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x]}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$={\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2(\frac{1}{2}{\cot }^{-1}\frac{\pi }{4})+\frac{\pi }{8}-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{\pi }{4}-0-0+0$

$=\frac{{\pi }^2}{32}{\cot }^{-1}\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{8}-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{\pi }{4}$

ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রশ্নমতে,

$x^2+y^2=169$

$\to x^2+y^2={13}^2$

এটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যসার্ধ 13

$y^2={13}^2-x^2$

$y=\sqrt{{13}^2-x^2}$

$\therefore x$ অক্ষের উপরের অংশ $y$ ধনাত্মক।

$\therefore OCABO$ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

$=2\times OABO$ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

ধরি,

$x=13\sin \theta$

$\frac{dx}{d\theta }=13\cos \theta$

$dx=13\cos \theta d\theta$

$=2{\int }_0^{13}\sqrt{(13{)}^2-x^2}dx$

$2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{(13{)}^2-(13{)}^2{\sin }^2\theta }\cdot 13\cos \theta d\theta$

$=169{\int }_0^{\pi }2{\cos }^2\theta d\theta$

$=169{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta$

$=169{[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=169[\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\sin 2\times \frac{\pi }{2}-0-0]$

$=\frac{169}{2}\pi$বর্গ একক।