সৃজনশীলঃ ‘P→=2i^+2j^−k^,Q→=2i^+2j^+ak^.…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ডাইভারজেন্সের তাৎপর্য হলো-

i. ডাইভারজেন্স দ্বারা একক আয়তনে এই দিক রাশির মোট কতটুকু ফ্লাক্স কোন বিন্দু অভিমুখী বা অপসারিত হচ্ছে তা প্রকাশ করে। $\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}$ বা div $\overrightarrow{V}$ দ্বারা একক সময়ে কোনো তরল পদার্থের ঘনত্বের পরিবর্তনের হার বুঝায়।

ii. মান ধনাত্মক হলে, তরল পদার্থের আয়তন বৃদ্ধি পায়; ঘনত্বের পরিবর্তনের হার বুঝায়। যেখানে $\overrightarrow{V}$ দ্বারা একক ক্ষেত্রফলের মধ্য দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে তরল পদার্থের ভর প্রবাহের হার নির্দিষ্ট হয়।

iii. মান ঋণাত্মক হলে আয়তনের সংকোচন ঘটে, ঘনত্ব বৃদ্ধি পায়।

এখানে, $\overrightarrow{p}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$

$\overrightarrow{P}$ ও ধনাত্মক $x$-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ, $\theta =?$

আমরা জানি, $\cos \theta =\frac{P_x}{\left|\overrightarrow{P}\right|}=\frac{2}{\sqrt{4+4+1}}$

বা, $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)={48.19}^{\circ }$

অতএব, $\overrightarrow{P}$ ও ধনাত্মক $x$-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ ${48.19}^{\circ }$ .

এখানে, $\overrightarrow{p}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{Q}=2\hat{i}+2\hat{j}+$$\widehat{\mathrm{ak}}$

$\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ এর স্কেলার গুণফল,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}& =(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\cdot (2\hat{i}+2\hat{j}+\mathrm{ak})\\ & =4+4-a=8-a\end{array}$

আবার, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ এর ভেক্টর গুণফল,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 2& -1\\ 2& 2& a\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(2a+2)-\hat{j}(2a+2)+\hat{k}(4-4)\\ & =\hat{i}(2a+2)-\hat{j}(2a+2)\end{array}$

শর্তমতে, $\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}|$

বা, $8-a=\sqrt{(2a+2{)}^2+\{-(2a+2){\}}^2}$

বা, $8-a=\sqrt{2(2a+2{)}^2}=\sqrt{2}(2a+2)$

বা, $a+2\sqrt{2}a=8-2\sqrt{2}$

$\therefore a=\frac{8-2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}$

সুতরাং, a-এর সম্ভাব্য $\frac{8-2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}$ মানের জন্য ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার গুণফল ও ভেক্টর গুণফলের মান সমান হবে।