সৃজনশীলঃ ‘P=|2x−s2x2x2y2y−s2y2z2z2z−s|,B=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|.…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$B=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|$

এখন, ২য় সারির উপদানগুলোর সহগুণক যথাক্রমে$A_2,B_2,C_2$ হলে,

a₂ এর সগগুণক, $A_2=-\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_3& c_3\end{array}\right|$

$=-(b_1{c}_3-b_3{c}_1)$

b₂ এর সগগুণক, $B_2=-\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_3& c_3\end{array}\right|$

$=(a_1{c}_3-a_3{c}_1)$

এবং C₂ এর হগগুণক, $C_2=-\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_3& b_3\end{array}\right|$

$=-(a_1{b}_3-a_3{b}_1)$

এখন,

$a_3{A}_2+b_3{B}_2+c_3{c}_2$

$=-a_3(b_1{c}_3-b_3{c}_1)+b_3(a_1{c}_3-a_3{c}_1)-c_3(a_1{b}_3-a_3{b}_1)$

$=-a_3{b}_1{c}_3+a_3{b}_3{c}_1+a_1{b}_3{c}_3-a_3{b}_3{c}_1-a_3{b}_3{c}_3+a_3{b}_1{c}_3$

= 0

দেওয়া আছে,

$p=\left|\begin{array}{ccc}2x-S& 2x& 2x\\ 2y& 2y-S& 2y\\ 2z& 2z& 2z-S\end{array}\right|$

S = x + y + z বসিয়ে,

$P=\left|\begin{array}{ccc}x-y-z& 2x& 2x\\ 2y& y-z-x& 2y\\ 2z& 2z& -x-y+z\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}x+y+z& x+y+z& x+y+z\\ 2y& y-z-x& 2y\\ 2z& 2z& z-x-y\end{array}\right|r_1^{\prime }=r_1+r_2+r_3$

$=(x+y+z)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2y& y-z-x& 2y\\ 2z& 2z& z-x-y\end{array}\right|$

$=(x+y+z)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ x+y+z& -x-y-z& 2y\\ 0& x+y+z& z-x-y\end{array}\right|$

$c_1^{\prime }=c_1-c_2$

$c_2^{\prime }=c_2-c_1$

$=(x+y+z)\left|\begin{array}{cc}x+y+z& -x-y-z\\ 0& x+y+z\end{array}\right|$

$=(x+y+z)(x+y+z{)}^2-0=(x+y+z{)}^3=s^3$

$\therefore P=s^3$