সৃজনশীলঃ ‘P=323+3−23 এবং g(x)=ln⁡3−2×3+2x.…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}}$

$P=a^2+2$ এবং $a=0$ হলে, $a^2+2=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}}$

বা, $a^2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2+{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^2-2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2-2\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}+{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^2$

বা, $a^2={(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})}^2$ বা, $a=3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $(a{)}^3={(3^{\frac{1}{3}}-3{.}^{\frac{-1}{3}})}^3$ [ঘন করে]

বা, $a^3={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^3-{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^3-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})$

বা, $a^3=3-3^{-1}-3\cdot 3^0\cdot a=3-\frac{1}{3}-3a$

বা, $.3a^3=9-1-9a$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]

বা, $3a^3+9a=8$

বা, $3(a^3+3a)=8$

$\therefore a^3+3a=\frac{8}{3}$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\ln \frac{3-2x}{3+2x}$

শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য লগারিদম সংজ্ঞায়িত

$\therefore g\left(x\right)\in R$ হবে যদি $\frac{3-2x}{3+2x}>0$ হয়,

এখন, $\frac{3-2x}{3+2x}>0$ হবে যদি

(i) $3-2x>0$ এবং $3+2x>0$ হয় অথবা,

(ii) $3-2x<0$ এবং $3+2x<0$ হয়

এখন, (i) নং হতে পাই, $3>2x$

বা, $\frac{3}{2}>x$

$\therefore x<\frac{3}{2}$

এবং $2x>-3$

বা, $x>\frac{-3}{2}$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x<\frac{3}{2}\}\cap \{x\in R:x>-\frac{3}{2}\}$

$=(-\frac{3}{2},\infty )\cap (-\infty ,\frac{3}{2})=(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

এখন, (ii) নং হতে পাই, $x>\frac{3}{2}$ এবং $x<-\frac{3}{2}$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x>\frac{3}{2}\}\cap \{x\in R:x<-\frac{3}{2}\}$

$=(\frac{3}{2},\infty )\cap (-\infty ,\frac{3}{2})=\varnothing$

∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন $=(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})\cup \varnothing =(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

ধরি, $y=g\left(x\right)=\ln \frac{3-2x}{3+2x}$

$\therefore y=\ln \frac{3-2x}{3+2x}$.

বা, $e^y=\frac{3-2x}{3+2x}$

বা, $3e^y+2{\mathrm{xe}}^y=3-2x$

বা, $2x{e}^y+2x=3-3e^y$

বা, $2x(e^y+1)=3(1-e^y)$

বা, $x=\frac{3(1-e^y)}{2(e^y+1)}$ যা একটি সূচক ফাংশন এবং $y$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞাযিত।

∴ রেঞ্জ = $R$

নির্ণেয় ডোমেন $(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ এবং রেঞ্জ $R$ ।