সৃজনশীলঃ ‘P=3+bx একটি দ্বিপদী…’ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P=3+\mathrm{bx}$

$b=\frac{1}{2}$ হলে, $P^n={(3+\frac{1}{2}x)}^n={(3+\frac{x}{2})}^n$

$\therefore (r+1)$-তম পদ $={}^n{C}_r{3}^{n-r}{\left(\frac{x}{2}\right)}^r$.

$r=7$ ও 8 হলে $x^7$ ও $x^8$ এর সহগ পাওয়া যাবে।

$\therefore x^7$ এর সহগ $={}^n{C}_7{3}^{n-7}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7$

শর্তমতে, ${}^n{C}_7{3}^{n-7}{\left(\frac{1}{2}\right)}^7={}^n{C}_8{3}^{n-8}{\left(\frac{1}{2}\right)}^8$

বা, $\frac{1}{n-7}=\frac{1}{48}$
বা, $n-7=48$
বা, $n=48+7=55$
$\therefore n=55$
নির্ণেয় মান : $n=55$.

দেওয়া আছে, $P=3+\mathrm{bx}$

$b=2$ হলে, $P^{-\frac{1}{2}}=(3+2x{)}^{-\frac{1}{2}}={\left\{3(1+\frac{2x}{3})\right\}}^{-\frac{1}{2}}$
$=3^{-\frac{1}{2}}{(1+\frac{2x}{3})}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}{(1+\frac{2x}{3})}^{-\frac{1}{2}}$

এখন, ${(1+\frac{2x}{3})}^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $(r+1)$ তম পদ

$=\frac{(-1{)}^r\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+r-1)}{r!}{\left(\frac{2x}{3}\right)}^r$

$\begin{array}{cc}& =\frac{(-1{)}^r\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdots \cdot \cdot \frac{2r-1}{2}}{r!}{2}^r\cdot 3^r\cdot x^r\\ & =\frac{(-1{)}^r\cdot 1\cdot 3\cdot 5\dots \cdot (2r-1)}{2^r\cdot r!}{2}^r\cdot \frac{1}{3^r}\cdot x^r\\ & =\frac{(-1{)}^r\cdot 1\cdot 3\cdot 5\dots \cdot (2r-1)}{r!\cdot 3^r}{x}^r\end{array}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{\left[\right(-1{)}^r\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2r-1)]\cdot [2\cdot 4\cdot 6\dots \dots \cdot 2r]}{r!\cdot 3^r[2^r\cdot r!]}{x}^r\\ & =\frac{(-1{)}^r(2r)!}{2^r\cdot 3^r\cdot (r!{)}^2}{x}^r=\frac{(-1{)}^r(2r)!}{(3\times 2{)}^r\cdot (r!{)}^2}\end{array}$

এখন, $\frac{1}{\sqrt{3}}{(1+\frac{2x}{3})}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{(-1{)}^r(2r)!}{6^r(r!{)}^2}{x}^r$

$=\frac{(-1{)}^r}{\sqrt{3}}\frac{\left(2r\right)!}{6^r(r!{)}^2}$

$\therefore x^r$ এর সহগ: $\frac{(-1{)}^r}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\left(2r\right)!}{6^r(r!{)}^2}$ (দেখানো হলো)