সৃজনশীলঃ ‘p=3x−y+7, s=x2+y2−10x+20…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $p=3x-y+7$

এবং $p=0$

প্রদত্ত সরলরেখা, $3x-y+7=0$ ..... (i)

$\therefore$ রেখাটির ঢাল $=3$

বা, $(-1,2)$ বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$y-2=m(x+1)$ ........ (ii)

যেখানে, ঢাল =m

(ii) নং রেখাটি (i) নং রেখার সাথে ${45}^{\circ }$ কোণ উৎপন্ন করে।

$\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m-3}{1+3m}$

বা, $1=\pm \frac{m-3}{1+3m}$

বা, $1+3m=\pm (m-3)$

(+) চিহ্ন নিয়ে

$1+3m=m-3$

বা, $2m=-4$

$\therefore m=-2$

(-) চিহ্ন নিয়ে,

$1+3m=-m+3$

বা, $4m=2$

$\therefore m=\frac{1}{2}$

(ii) নং এ m এর মান বসিয়ে পাই,

$m=-2$ হলে, $y-2=-2(x+1)$

বা, $y-2=-2x-2$

$\therefore 2x+y=0\dots \left(iii\right)$

$m=\frac{1}{2}$ হলে $y-2=\frac{1}{2}(x+1)$

বা, $2y-4=x+1$

$\therefore x-2y+5=0......\left(iv\right)$

নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয় $2x+y=0$ এবং $x-2y+5=0$

আবার, (iii) নং হতে পাই, $y=-2x$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_1=-2$

(iv) নং হতে পাই, $2y=x+5$

বা, $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_2=\frac{1}{2}$

ঢালদ্বয়ের গুণফল $=m_1{m}_2=-2\times \frac{1}{2}=-1$

$\therefore$ রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, $s=x^2+y^2-10x+20$

এবং $s=0$

বা, $x^2+y^2-10x+20=0$

বৃত্তের কেন্দ্র $(5,0)$

এবং ব্যাসার, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{5^2+0^2-20}=\sqrt{5}$

এখন, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, $y=mx$

বা, $mx-y=0$ ...... (ii)

(ii) নং রেখা (i) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার ওপর লম্ব দূরত্ব = বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।

অর্থাৎ $\left|\frac{5m-0}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{5}$

বা, $\frac{(5m{)}^2}{m^2+1}=5$ [বর্গ করে]

বা, $25m^2=5m^2+5$

বা, $20m^2=5$

বা, $m^2=\frac{1}{4}$

$\therefore m=\pm \frac{1}{2}$

$m$ এর মান (ii) এ বসাই, $\pm \frac{1}{2}x-y=0$

বা, $\pm x-2y=0$

(+) চিহ্ন নিয়ে : $x-2y=0$

$(-)$ চিহ্ন নিয়ে : $-x-2y=0$

বা, $x+2y=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয় : $x-2y=0$ এবং $x+2y=0$