সৃজনশীলঃ ‘P→=5i^+3j^−mk;Q→=i^+j^+4k^ ; এখানে…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কোনো প্রবাহীর ক্ষেত্রে ডাইভারজেন্স অথবা $\overrightarrow{\nabla .}\overrightarrow{V}=0$ বা শুণ্য হলে তরলটি অসংনম্য বুঝায়। মানটি ধনাত্মক হলে বুঝায় যে তরলটির আয়তন বৃদ্ধি পেয়েছে। অনুরূপভাবে ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক হলে তরলটির আয়তন হ্রাস পেয়েছে বুঝায়। অতএব এটি স্পষ্ট যে, কোনো প্রবাহীর আয়তনের পরিবর্তন নির্ণয়ে ডাইভারজেন্সের ভূমিকা রয়েছে।

P ও Q পরস্পর লম্ব বলে এদের ডট গুনফল শূন্য হবে ।

এখানে, 

$\underset{―}{P}=5\underset{―}{i}+3j-mk$

$Q=\underset{―}{i}+\underset{―}{j}+4\underset{―}{k}$

সুতরাং,

$\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=0$

বা, $(5\underset{―}{i}+3j-m\underset{―}{k})\cdot (i+j+4\underset{―}{k})=0$

বা, $5+3-4m=0$ অর্থাৎ, $m$ এর মান 2 .

উদ্দীপকের নৌকার মাঝি যদি নূন্যতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রশ্ন অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে- উক্তিটি যথার্থ । 

এখানে, $\begin{array}{cc}\underset{―}{P}& =5\underset{―}{i}+3j-2\underset{―}{k}\\ Q& =\underset{―}{i}+j+4\underset{―}{k}\end{array}$

সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির t=2 মিনিট সময় লাগে, তখন, 0 = 90°

এখানে,

নৌকার বেগ, $v=\sqrt{(5^2+3^2+(-2{)}^2)}$

বা, $v=\sqrt{38}{\mathrm{ms}}^{-1}$

স্রোতের বেগ, $u=\sqrt{(1^2+1^2)}+=3\sqrt{2}{\mathrm{ms}}^{-1}$

ধবি, নৌকাটি যখন সর্বনিম্ন পথে নদী পার হয় তখন স্রোতের সাথে α কোণে যাত্রা শুরু করে এবং নদীর প্রস্থ x

সুতরাং, tan θ = v sin α / (u + v cos a)

বা, sin 90°/ cos 90° = v sin α / (u + v cosα)

বা, u+v cos a = 0

বা, $\alpha ={\cos }^{-1}(-3\sqrt{2}{\mathrm{ms}}^{-1}/38{\mathrm{ms}}^{-1})$

$\alpha ={133.5}^{\circ }$

এখন, $x=1\times V\sin \alpha =2\times 60sx\sqrt{38}{\mathrm{ms}}^{-1}x\sin \left({133.5}^{\circ }\right)=536.58m$

আবার, যখন নৌকাটি নূন্যতম সময় নদী পার হয় তখন স্রোতের সাথে ${\alpha }^{\prime }={90}^{\circ }$ কোণে যাত্রা করে।

নৌকার লব্ধি বেগ, $R=\sqrt{}(v^2+u^2+2v\cdot u\cos \alpha )=\sqrt{}\left\{\right(\sqrt{38}{)}^2+(3\sqrt{2}{)}^2+0\}=2\sqrt{14}{\mathrm{ms}}^{-1}$

আবার।

নূন্যতম সময়, $t^{\prime }$ হলে, $t^{\prime }=d/v\sin {\alpha }^{\prime }$

$=536.58m/(\sqrt{38}{\mathrm{ms}}^{-1}\sin {90}^{\circ })$

$=87.0447s$

তাই, নূন্যতম সময় নদী পার হওয়ার জন্য নৌকার অতিক্রান্ত দূরত্ব, m= R. t'

$=2\sqrt{14}{\mathrm{ms}}^{-1}\ast 87.0447s$

$=651.383m$

অর্থাৎ, উপরের গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে m > x

অতএব, উদ্দীপকের নৌকার মাঝি যদি নূন্যতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রশ্ন অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে।