সৃজনশীলঃ ‘P→=5i^+3ȷ^−mk^ ও Q=ı^+ȷ^+4k^…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

নদীতে নৌকা চালানো হলে স্রোতের বিরদ্ধে বাঁধার সম্মুখীন হতে হয়। এতে নৌকা চালানোর বিন্দু হতে সোজাসুজি অপর বিন্দুতে পৌঁছাতে পারে না। নৌকা ও স্রোতের বেগের লধ্বির কারণে অন্যকোনো বিন্দুতে পৌঁছায়। কিন্তু স্রোতের সাথে আড়াআড়িভাবে নদী পাড়ি দিতে হবে যাতে নৌকা ও স্রোতের বেগের লধ্বি স্রোতের দিকের সাথে সমকোণে অবস্থান করে। স্রোতের সাথে আড়াআড়িভাবে নদী পাড়ি দিতে নৌকা ও স্রোতের মধ্যবর্তী কোণ 90° অপেক্ষা বেশি রাখতে হবে।

এখানে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{P}=5\hat{ı}+3\hat{ȷ}-m\hat{k}\\ & \overrightarrow{Q}=\hat{ı}+\hat{ȷ}+4\hat{k}\end{array}$

এবং, P ও Q পরস্পর লম্ব।

আমরা জানি,

  দুইটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে এদের ডট গুণফল শূণ্য হয়। 

$\begin{array}{cc}& \therefore \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=0\\ \Rightarrow & (5\hat{ı}+3\hat{ȷ}-m\hat{k})\cdot (\hat{ı}+\hat{ȷ}+4\hat{k})=0\\ \Rightarrow & 5+3-4m=0\\ \Rightarrow & 4m=8\\ & \therefore m=2\end{array}$

∴ m এর মান 2

এখানে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{P}=5\hat{ı}+3\hat{ȷ}-m\hat{k}\\ & \overrightarrow{Q}=\hat{ı}+\hat{ȷ}+4\hat{k}\end{array}$

প্রশ্নমতে,

     নদীর স্রোতের বেগ, 

$\begin{array}{cc}u=& \sqrt{(1{)}^2+(1{)}^2+(4{)}^2}\\ & =\sqrt{18}\\ & =3\sqrt{2}\end{array}$

   নৌকার বেগ, 

$\begin{array}{cc}v& =\sqrt{(5{)}^2+(3{)}^2+(-2{)}^2}\\ & =\sqrt{38}\end{array}$

   নদীর প্রস্থ = d 

   এবং, ন্যূনতম সময়, t = 2 min = 120 sec

   সর্বনিম্ন পথে, θ = 90°

   স্রোতের সাথে যাত্রা শুরুর উৎপন্ন কোণ = α

আমরা জানি,

$\begin{array}{cc}& \tan \theta =\frac{v\sin \alpha }{u+v\cos \alpha }\\ \Rightarrow & \tan {90}^{\circ }=\frac{v\sin \alpha }{u+v\cos \alpha }\\ \Rightarrow & \frac{1}{0}=\frac{v\sin \alpha }{u+v\cos \alpha }\\ \Rightarrow & u+v\cos \alpha =0\\ \Rightarrow & \alpha ={\cos }^{-1}(-\frac{u}{v})\\ & ={\cos }^{-1}(-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{38}})\\ \therefore & \alpha ={133.5}^{\circ }\end{array}$

নদীপাড় হতে প্রয়োজনীয় সময়, 

$\begin{array}{cc}& t=\frac{d}{v\sin \alpha }\\ & \therefore d=t\times v\sin \alpha \\ & =120\times \sqrt{38}\sin {133.5}^{\circ }\\ & =536.581m\end{array}$

∴ নদীর প্রস্থ, d = 536.581 m

ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চাইলে, α` =90° হতে হবে।

এক্ষেত্রে, 

   লধ্বি বেগ, 

$\begin{array}{cc}R& =\sqrt{v^2+u^2+2\cdot v\cdot u\cos \alpha }\\ =& \sqrt{38+18}\\ =& \sqrt{56}\\ & =2\sqrt{14}{\mathrm{ms}}^{-1}\end{array}$

প্রয়োজনীয় সময়, 

$\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\frac{d}{\sin {\alpha }^2}\\ & =\frac{536.581}{\sqrt{38}\sin {90}^{\circ }}\\ & =87.045\sec \end{array}$

∴ ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে নৌকার অতিক্রান্ত দূরত্ব,

$\begin{array}{cc}{d}^{\prime }& =R\times t^{\prime }\\ & =2\sqrt{14}\times 87.04m\\ & =651.38m\end{array}$

∴ d < d`

∴ ন্যূনতম সময়ে পার হতে অতিক্রান্ত দূরত্ব নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি হবে।