সৃজনশীলঃ ‘P=a+ib…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P=a+\mathrm{ib}$

$a=-\frac{1}{2}$ এবং $b=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ হলে,

$P=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

$=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{3})$

$=\omega$ [এককের কাল্পনিক ঘনমূল]

প্রদত্ত রাশি

$=4P^6+25P^5+20P^4+P^3+5P+20$

$=4{\omega }^6+25{\omega }^5+20{\omega }^4+{\omega }^3+5\omega +20$

$=4{\left({\omega }^3\right)}^2+25{\omega }^3\cdot {\omega }^2+20{\omega }^3\cdot \omega +{\omega }^3+5\omega +20$

$=4+25{\omega }^2+20\omega +1+5\omega +20[\because {\omega }^3=1]$

$=25+25\omega +25{\omega }^2$

$=25(1+\omega +{\omega }^2)$

$=25\cdot 0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$=0$

নির্পেয় মান : 0 .

দেওয়া আছে, $P=a+\mathrm{ib}$

$a=4096$ এবং $b=0$ হলে,

$P=4096+i\cdot 0$

বা, $P=4096$

ধরি, $x=\sqrt[6]{-P}$

বা, $x^6=-P$

বা, $x^6=-4096$

বা, $x^6+4096=0$

বা, ${\left(x^2\right)}^3+(16{)}^3=0$

বা, $(x^2+16)\{{\left(x^2\right)}^2-x^2\cdot 16+(16{)}^2\}=0$

বা, $(x^2+16)(x^4-16x^2+256)=0$

হয়, $x^2+16=0$

বা, $x^2=-16$

বা, $x^2=16i^2$

বা, $x^2=(\pm 4i{)}^2$

$\therefore x=\pm 4i$

অথবা, $x^4-16x^2+256=0$

$\therefore x^2=\frac{-(-16)\pm \sqrt{(-16{)}^2-4.1.256}}{2.1}$

$=\frac{16\pm \sqrt{256-1024}}{2}$

$=\frac{16\pm \sqrt{-768}}{2}=\frac{16\pm \sqrt{-{16}^2\times 3}}{2}$

$=\frac{16\pm \sqrt{(16i{)}^2\times 3}}{2}$

$=\frac{16\pm 16\sqrt{3}i}{2}=\frac{2(8\pm 8\sqrt{3}i)}{2}$

$=8\pm 8\sqrt{3}i=12\pm 8\sqrt{3}i-4$

$=(2\sqrt{3}{)}^2\pm 2.2\sqrt{3}.2i+(2i{)}^2$

বা, $x^2=\{\pm (2\sqrt{3}\pm 2i){\}}^2$

$\therefore x=\pm (2\sqrt{3}\pm 2i)$

$\therefore x=\sqrt[6]{-P}=\pm 4i,\pm (2\sqrt{3}\pm 2i)$

নির্ণেয় মান $:\pm 4i,\pm (2\sqrt{3}\pm 2i)$.