সৃজনশীলঃ ‘পানিপূর্ণ একটি চৌবাচ্চার…’ ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – কাজ শক্তি ক্ষমতা, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

যে বল কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়া করলে তাকে যেকোনো পথে ঘুরিয়ে পুনরায় প্রাথমিক অবস্থানে আনলে বল কর্তৃক কৃতকাজ শূন্য হয় তাকে সংরক্ষণশীল বল বলে। মহকার্য বল দ্বারা কাজ আদি ও চূড়ান্ত অবস্থানের ওপর নির্ভর করে, গতিপথের ওপর নয়। এই বল দ্বারা কাজ পুনরুদ্ধার করা যায়। সুতরাং সংরক্ষণশীল বল বস্তুর গতিপথের উপর নির্ভর করে না।

দেওয়া আছে,

চৌবাচ্চার ব্যাসার্ধ, $r=4\text{ m}$
চৌবাচ্চার মোট উচ্চতা, $h=30\text{ m}$
পানির ঘনত্ব, $\rho =1000{\text{ kg m}}^{-3}$
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8{\text{ m s}}^{-2}$
পাম্পের সময়, $t=20\text{ min}=(20\times 60)\text{ s}=1200\text{ s}$
কর্মদক্ষতা, $\eta =75\%=0.75$
পাম্পের ক্ষমতা, $P_{in}=?$

চৌবাচ্চাটির অর্ধেক পানিশূন্য করতে অপসারিত পানির আয়তন:

$V=\pi r^2\left(\frac{h}{2}\right)=\pi \times (4{)}^2\times \left(\frac{30}{2}\right)=240\pi {\text{ m}}^3$

অপসারিত পানির ভর:

$m=V\times \rho =240\pi \times 1000=240000\pi \text{ kg}$

চৌবাচ্চার উপরের অর্ধেক পানি খালি করার ক্ষেত্রে পানির ভারকেন্দ্রের সরণ:

$h^{\prime }=$ (উপরিভাগের গভীরতা + অর্ধেকের গভীরতা) / $2$

$=\frac{0+15}{2}=7.5\text{ m}$

পাম্পের লভ্য কার্যকর ক্ষমতা:

$P_{out}=\frac{mg{h}^{\prime }}{t}$

$P_{out}=\frac{240000\pi \times 9.8\times 7.5}{1200}=14700\pi \text{ W}$

আমরা জানি,

কর্মদক্ষতা $\eta =\frac{P_{out}}{P_{in}}$

$P_{in}=\frac{P_{out}}{\eta }$

$P_{in}=\frac{14700\pi }{0.75}=19600\pi \text{ W}$

$P_{in}=19600\times 3.1416=61575.36\text{ W}$

আমরা জানি,

$1\text{ H.P.}=746\text{ W}$। তাই ওয়াটকে অশ্বক্ষমতায় রূপান্তর করে পাই:

$P_{in}=\frac{61575.36}{746}\text{ H.P.}$

$P_{in}\approx 82.54\text{ H.P.}$

সুতরাং, পাম্পটির ক্ষমতা $82.54\text{ H.P.}$।

চৌবাচ্চার বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশনের ক্ষেত্রে পানির ভর একই থাকবে, কিন্তু পানির ভারকেন্দ্রের সরণ ভিন্ন হবে।

দেওয়া আছে,

পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা, $P_{out}=14700\pi \text{ W}$

বাকি অর্ধেক পানির ভর, $m=240000\pi \text{ kg}$

প্রথম অর্ধেক পানিশূন্য করতে সময়, $t_1=20\text{ min}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8{\text{ m s}}^{-2}$

চৌবাচ্চার উপরের অর্ধেক (০ থেকে ১৫ মিটার) খালি হওয়ার পর, বাকি অর্ধেক পানির অবস্থান ১৫ মিটার গভীরতা থেকে ৩০ মিটার গভীরতা পর্যন্ত।
সুতরাং, বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশনে ভারকেন্দ্রের সরণ:

$h_2^{\prime }=$ (উপরিভাগের গভীরতা + অর্ধেকের গভীরতা) / $2$

বা, $h_2^{\prime }=\frac{15+30}{2}=22.5\text{ m}$

(উল্লেখ্য, প্রথম অর্ধেকের ক্ষেত্রে ভারকেন্দ্রের সরণ ছিল $h_1^{\prime }=7.5\text{ m}$)

আমরা জানি,

পাম্পের লভ্য কার্যকর ক্ষমতা, $P_{out}=\frac{W_2}{t_2}=\frac{mg{h}_2^{\prime }}{t_2}$
বা, $t_2=\frac{mg{h}_2^{\prime }}{P_{out}}$

বা, $t_2=\frac{240000\pi \times 9.8\times 22.5}{14700\pi }$ (মান বসিয়ে)

বা, $t_2=3600\text{ s}$

বা, $t_2=\frac{3600}{60}\text{ min}=60\text{ min}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে, প্রথম অর্ধেক খালি করতে ২০ মিনিট সময় লাগলেও, বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে পাম্পটির $60\text{ min}$ সময় লাগবে।

অর্থাৎ, পানির গভীরতা বেড়ে যাওয়ায় পাম্পটিকে বেশি কাজ করতে হবে, তাই একই সময় লাগবে না (৩ গুণ বেশি সময় লাগবে)।