সৃজনশীলঃ ‘পরস্পর ঐ দূরত্বে…’ আনন্দ মোহন কলেজ ২০২৬ – গতিবিদ্যা, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রাসের গতিপথের সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগের উল্লম্ব উপাংশ শূন্য। ফলে ভরবেগের উল্লম্ব উপাংশও শূন্য হয়। কিন্তু বেগের অনুভূমিক উপাংশ অপরিবর্তিত থাকে এবং অনুভূমিক উপাংশ হয় $v_x=v_0\cos \theta$. সুতরাং, ভরবেগের অনুভূমিক উপাংশ, $p_x=m{v}_0\cos \theta$ এবং এই অনুভূমিক উপাংশই হবে সর্বোচ্চ বিন্দুতে মোট ভরবেগ।

ধরি, ভূমি হতে h উচ্চতায় মিলিত হবে। m ভরের বস্তুর ক্ষেত্রে,

$20-h=u\sin \theta t+\frac{1}{2}g{t}^2$

বা, $20-h=10\sin 0^{\circ }t+\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$ ......(I)

2 m ভরের বস্তুর ক্ষেত্রে,

$30-h=10\sin {\theta }_{2}t+\frac{1}{2}g{t}^2$

বা, $30-h=10\sin {60}^{\circ }t+\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$........(ii)

(ii) - (i) হতে পাই,

$10=10\sin {60}^{\circ }t$

বা, $t=\frac{10}{10\sin {60}^{\circ }}=\frac{2}{\sqrt{3}}=1.155\sec$

$\therefore x_1=u\cos {\theta }_{1}t=10\cos 0^{\circ }\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$

$x_2=u\cos {\theta }_{2}t=10\cos {60}^{\circ }\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}$

$\therefore d=x_1+x_2=\frac{20}{\sqrt{3}}+\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=17.32m$

অতএব, d এর মান হলো 17.32 m ।

ধরি, সংঘর্ষের পূর্বের মুহূর্তে m ভরের বস্তুর বেগ $v_1$ এবং x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ ${\theta }_1$.

$\therefore v_{1x}=10\cos 0^{\circ }=10$

$\therefore v_{1y}=10\sin 0^{\circ }+gt=9.8\times 1.155=11.32m/s$

$v_1=\sqrt{v_{1x}{}^2+v_{ay}{}^2}=\sqrt{{10}^2+{11.32}^2}=15.104m/s$

${\theta }_1={\tan }^{-1}\left(\frac{v_{1y}}{v_{1x}}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{11.32}{10}\right)={48.54}^{\circ }$ 

ধরি, 2 m ভরের বস্তুর বেগ $v_2$ এবং $x$ অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ ${\theta }_2$.

$v_{2x}=10\cos {60}^{\circ }=5m/s$

$v_{2y}=10\sin {60}^{\circ }+9.8\times 1.155=20m/s$

$\therefore v_2=\sqrt{{\left(v_{2x}\right)}^2+{\left(v_{2y}\right)}^2}=\sqrt{5^2+{20}^2}=20.62m/s$

${\theta }_2={\tan }^{-1}\left(\frac{v_{2y}}{v_{2x}}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{20}{5}\right)={75.96}^{\circ }$

ধরি, সংঘর্ষের পর বস্তু $x$ অক্ষের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, $x$ অক্ষ বরাবর ভরবেগের সংরক্ষণের সূত্র ব্যবহার করে পাই,

$m_1{v}_1\cos (-{\theta }_1)+m_2{v}_2\cos ({\theta }_2+{180}^{\circ })=m_{1}v\cos \theta +m_{2}v\cos \theta$

বা, $m_1{v}_1\cos {\theta }_1-m_2{v}_2\cos {\theta }_2=(m_1+m_2)v\cos \theta$

বা,$v\cos \theta =\frac{m_1{v}_1\cos {\theta }_1-m_2{v}_2\cos {\theta }_2}{m_1+m_2}$

$=\frac{m\times 15.104\cos {48.54}^{\circ }-2m\times 20.62\cos {75.96}^{\circ }}{m+2m}$

$=\frac{m(15.104\cos {48.54}^{\circ }-2\times 20.62\cos {75.96}^{\circ })}{3m}$

$=-1.493\times {10}^{-3}m/s$

y অক্ষ বরাবর ভরবেগের সংরক্ষণের সূত্র ব্যবহার করে পাই,

$m_1{v}_1\sin (-{\theta }_1)+m_2{v}_2\sin ({\theta }_2+{180}^{\circ })=m_{1}v\sin \theta +m_{2}v\sin \theta$

বা, $m_1{v}_1\sin (-{\theta }_1)-m_2{v}_2\sin {\theta }_2=(m_1+m_2)v\sin \theta$

বা, $v\sin \theta =\frac{m_1{v}_1\sin (-{\theta }_1)-m_2{v}_2\sin {\theta }_2}{m_1+m_2}$

$=\frac{m\times 15.104\sin (-{48.54}^{\circ })-2m\times 20.62\sin {75.96}^{\circ }}{m+2m}$

$=\frac{m(-15.104\sin {48.54}^{\circ }-2\times 20.62\sin {75.96}^{\circ })}{3m}$

$=-17.11m/s$

‘গ’ হতে, $20-h=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$

বা, $h=20-\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2=20-\frac{1}{2}\times 9.8\times (1.155{)}^2=13.46m$

ধরি, সংঘর্ষের পর ভূমিতে পড়তে t' সময় লাগে।

$\dot{h}=v\sin \theta t^{\prime }+\frac{1}{2}g{t}^{\prime 2}$

বা, $13.46=-17.11\times t^{\prime }+\frac{1}{2}\times 9.8\times t^{\prime 2}$

বা, $4.9t^{\prime 2}-17.11t^{\prime }-13.46=0$

$\therefore t^{\prime }=4.15s,-0.66s$ [ঋণাত্মক সময় গ্রহণযোগ্য নয়]

$\therefore x=v\cos \theta t^{\prime }$

$=-1.493\times {10}^{-3}\times 4.15$

$=-6.2\times {10}^{-3}m$

বস্তুটি AB হতে $x_1+x$ দূরত্বে ভূমিতে পতিত হবে।

$\therefore x_1+x=\frac{20}{\sqrt{3}}-6.2\times {10}^{-3}=11.54m$

সুতরাং, বস্তু দুটি যেখানে ভূমি স্পর্শ করবে তা নির্ণয় করা সম্ভব।