সৃজনশীলঃ ‘PQRS চতুর্ভুজটি বৃত্তে…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

PQRS চতুর্ভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত যার PR ও QS দুটি কর্ণ এবং $∠ QPR < ∠ SPR$ .

উত্তর:

দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 12 সে.মি.
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বার্হুর দৈর্ঘ্য a হলে, পরিসীমা $= 3 a$
প্রশ্নমতে, $3 a = 12$
$∴ a = 4$ সে.মি.
আমরা জানি,
ত্রিভুজের বাহুত্রয় a, b, c এবং মধ্যমাত্রয় d, e, f হলে,
অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে,

$3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 4 (d^{2} + e^{2} + f^{2})$

বা, $3 (a^{2} + a^{2} + a^{2}) = 4 (d^{2} + d^{2} + d^{2})$
[ ∵ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, বাহুত্রয় $a = b = c$ এবং মধ্যমাত্রয় d=e=f]

বা, $3 \times 3 a^{2} = 4 \times 3 d^{2}$
বা, $9 a^{2} = 12 d^{2}$
বা, $d^{2} = \frac{9 a^{2}}{12}$
বা, $d^{2} = \frac{9 \times 4^{2}}{12} [∵ a = 4]$
বা, $d^{2} = \frac{9 \times 16}{12}$
বা, $d^{2} = 12$
বা, $d = \sqrt{12}$

$∴ d = 2 \sqrt{3}$

∴ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য $2 \sqrt{3}$ সে.মি.
∴ সমবাহু ত্রিভুজটির মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি $= (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3})$ সে.মি.

$= 6 \sqrt{3}$ সে.মি. [Ans.]

উত্তর:

দেওয়া আছে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের PR এবং QS দুইটি কর্ণ এবং $∠ QPR < ∠ SPR$ ।
প্রমাণ করতে হবে যে, $PR \cdot QS = PQ \cdot SR + PS \cdot QR$

প্রমাণ:
যেহেতু $∠ QPR < ∠ SPR$ ; সুতরাং, P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে $∠ QPR$ -এর সমান করে $∠ SPE$ আঁকি যেন PE রেখা QS কর্ণকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কন অনুসারে, $∠ QPR = ∠ SPE$
উভয়পক্ষে $∠ RPE$ যোগ করে পাই,
$∠ QPR + ∠ RPE = ∠ SPE + ∠ RPE$
অর্থাৎ, $∠ QPE = ∠ SPR$
এখন, $△ PQE$ ও $△ PRS$ এর মধ্যে $∠ QPE = ∠ SPR$
$∠ PQE = ∠ PRS$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]
এবং অবশিষ্ট $∠ PEQ =$ অবশিষ্ট $∠ PSR$
$∴ △ PQE$ ও $△ PRS$ সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।
$\frac{QE}{SR} = \frac{PQ}{PR} [∵$ সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

অর্থাৎ, $PR \cdot QE = PQ \cdot SR$ . . . . . . . (i)

আবার, $△ PQR$ ও $△ PES$ এর মধ্যে
$∠ QPR = ∠ SPE$ [অঙ্কন অনুসারে]
$∠ PRQ = ∠ PSE$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]
এবং অবশিষ্ট $∠ PQR =$ অবশিষ্ট $∠ PES$
$△ PQR$ ও $△ PES$ সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।
$∴ \frac{PS}{PR} = \frac{ES}{QR} [∵$ সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]
অর্থাৎ, $PR \cdot ES = PS \cdot QR$ . . . . . . . (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$PR \cdot QE + PR \cdot ES = PQ \cdot SR + PS \cdot QR$

বা, $PR (QE + ES) = PQ \cdot SR + PS \cdot QR$
$∴ P R \cdot Q S = P Q \cdot S R + P S \cdot Q R [∵ QE + ES = QS]$ [প্রমাণিত]

উত্তর:

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, PQRS বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের PR ও QS দুটি কর্ণ পরস্পর T বিদ্দুতে ছেদ করে এবং $∠ QPR = ∠ SPR$ । প্রমাণ করতে হবে যে, ${PT}^{2} = PQ \cdot PS - QT \cdot TS$

প্রমাণ:
$△ PQT$ ও $△ PSR$ -এ
$∠ QPT = ∠ SPR$ [দেওয়া আছে]
এবং $∠ PQT = ∠ PRS [∵$ একই চাপ PS এর উপর অবস্থিত বৃত্তহ কোণ $]$
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।
$∴ \frac{PT}{PS} = \frac{PQ}{PR} [∵$ দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]
অর্থাৎ, $PQ \cdot PS = PT \cdot PR$ . . . . . . . (i)

আবার, $△ PQT$ ও $△ STR$ -এ
$∠ PQT = ∠ SRT [∵$ বৃত্তের একইচাপ PS এর উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ]

এবং $∠ PTQ = ∠ STR$ [বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান]
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।
$∴ \frac{QT}{TR} = \frac{PT}{TS} [∵$ দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান $]$
অর্থাৎ, $PT \cdot TR = QT \cdot TS$ . . . . . . . (ii)

সমীকরণ (i) হতে পাই,

$PQ \cdot PS = PT \cdot PR$
বা, $PQ \cdot PS = PT (PT + TR) [∵ PR = PT + TR]$
বা, $PQ \cdot PS = PT \cdot PT + PT \cdot TR$
বা, $PQ \cdot PS = PT + PT \cdot TR$
বা, ${PT}^{2} = PQ \cdot PS - PT \cdot TR$
$∴ {PT}^{2} = PQ \cdot PS - QT \cdot TS$ [ সমীকরণ (ii) হতে মান বসিয়ে পাই] }]
অর্থাৎ, ${PT}^{2} = PQ \cdot PS - QT \cdot TS$ [প্রমাণিত]

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘PQRS চতুর্ভুজটি বৃত্তে…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘PQRS চতুর্ভুজটি বৃত্তে…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর