সৃজনশীলঃ ‘পৃথিবী এবং চাঁদের…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

পরম স্থির কোনো প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর স্থিতিকে পরম স্থিতি বলে। আবার, পরম স্থির কোনো প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর গতিকে পরম গতি বলে। যেহেতু মহাবিশ্বের সকল বস্তুই গতিশীল এবং প্রকৃতপক্ষে স্থির কোনো প্রসঙ্গ কাঠামো পাওয়া সম্ভব নয়, তাই পরম স্থিতি বা পরম গতি পাওয়া সম্ভব নয়।

দেওয়া আছে:
পৃথিবীর ভর, $M_e=6\times {10}^{24}\mathrm{kg}$
চাঁদের ভর, $M_m=7.4\times {10}^{22}\mathrm{kg}$
পৃথিবী|ও চাঁদের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $d=372500\mathrm{km}=3.725\times {10}^{8}m$
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G=6.673\times {10}^{-11}N{m}^2{\mathrm{kg}}^{-2}$

যেহেতু আমাদের মধ্যবিন্দুতে প্রাবল্য বের করতে হবে, তাই মধ্যবিন্দু থেকে প্রতিটি বস্তুর দূরত্ব:

$r=\frac{d}{2}=\frac{3.725\times {10}^8}{2}=1.8625\times {10}^{8}m$

পৃথিবীর জন্য প্রাবল্য:

$E_e=\frac{G{M}_e}{r^2}$

চাঁদের জন্য প্রাবল্য:

$E_m=\frac{G{M}_m}{r^2}$

লব্ধি প্রাবল্য ( $E$ ):
যেহেতু পৃথিবীর ভর বেশি, তাই $E_e>E_m$ হবে।

$E=E_e-E_m$
$E=\frac{G}{r^2}(M_e-M_m)$

$\begin{array}{c}E=\frac{6.673\times {10}^{-11}}{{(1.8625\times {10}^8)}^2}\times (6\times {10}^{24}-7.4\times {10}^{22})\\ E=\frac{6.673\times {10}^{-11}}{3.4689\times {10}^{16}}\times (5.926\times {10}^{24})\\ E=(1.9237\times {10}^{-27})\times (5.926\times {10}^{24})\\ E\approx 0.0114N/\mathrm{kg}\end{array}$

ধরি, m ভরের বস্তুর জন্য পৃথিবী হতে x দূরত্বে পৃথিবী ও চাঁদের মহাকর্ষীয় আকর্ষণ সমান ও বিপরীত অর্থৎ লব্ধি প্রাবল্য শূন্য।

এখানে,
পৃথিবীর ভর, $m_e=6\times {10}^{24}\mathrm{kg}$
চাঁদের ভর, $m_m=7.4\times {10}^{22}\mathrm{kg}$
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R_e=6370\mathrm{km}$

$=6.37\times {10}^{6}m$

পৃথিবী ও চাঁদের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$d=3.725\times {10}^{8}m$

আমরা পাই,

$\frac{G{m}_e}{x^2}=\frac{G{m}_m}{(d-x{)}^2}$

বা, $\frac{m_e}{x^2}=\frac{m_m}{(d-x{)}^2}$
বা, $\frac{d-x}{x}=\sqrt{\frac{m_m}{m_e}}$

বা, $\frac{3.725\times {10}^8}{x}-1=\sqrt{\frac{7.4\times {10}^{22}}{6\times {10}^{24}}}$
বা, $\frac{3.725\times {10}^8}{x}=0.111+1$
বা, $x=\frac{3.725\times {10}^8}{1.111}$

$\therefore x=3.35\times {10}^{8}m$

বস্তুটিকে পৃথিবী হতে এই $x$ দূরত্বে পাঠাতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম নিক্ষেপণ বেগ v হলে,

$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{G{m}_{e}m}{R_e}-\frac{G{m}_{m}m}{d-R_e}=-\frac{G{m}_{e}m}{x}-\frac{G{m}_{m}m}{d-x}$
বা$\text{ বা, }\frac{1}{2}{v}^2=G{m}_e(\frac{1}{R_e}-\frac{1}{x})+G{m}_m(\frac{1}{d-R_e}-\frac{1}{d-x})$

বা$\text{ বা, }\frac{1}{2}{v}^2=6.673\times {10}^{-11}\times 6\times {10}^{24}(\frac{1}{6.37\times {10}^6}-\frac{1}{3.35\times {10}^8})$
$+6.673\times {10}^{-11}\times 7.4\times {10}^{22}$
$(\frac{1}{3.725\times {10}^8}-\frac{1}{3.725\times {10}^8-3.35\times {10}^8})$

বা, $\frac{1}{2}{v}^2=6.16\times {10}^7-1.18\times {10}^5$
বা, $v^2=2\times 6.15\times {10}^7$

$\therefore v^2=11090.53{\mathrm{ms}}^{-1}=11.09{\mathrm{kms}}^{-1}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, বস্তুটিকে পৃথিবী হতে ন্যূনতম $11.09{\mathrm{kms}}^{-1}$ বেগে নিক্ষেপ করলে এটি নিরপেক্ষ বিন্দু অতিক্রম করবে এবং চাঁদের আকর্ষণে চাঁদে পৌছাবে। সুতরাং বস্তুটির পক্ষে চাঁদে পৌছানো সম্ভব।