সৃজনশীলঃ ‘পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে 700km…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

সর্বাপেক্ষা কম যে বেগে কোনো বস্তুকে খাড়া ওপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা আর পৃথিবীতে ফিরে আসে না, সে বেগকে মুক্তিবেগ বলে। অর্থাৎ, ভূ-পৃষ্ঠ থেকে কোনো বস্তুকে এমন গতিশক্তি দিতে হবে যাতে সেটি পৃথিবীর আকর্ষণকে উপেক্ষা করে মহাশূন্যে চলে যেতে পারে। পৃথিবীর ভর M, সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক G, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R হলে পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে নিক্ষিপ্ত যে কোনো বস্তুর মুক্তিবেগ, $v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ = $\sqrt{2\mathrm{gR}}$ । মুক্তিবেগের এই সমীকরণে বস্তুর ভর অনুপস্থিত। অর্থাৎ, পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে নিক্ষেপের ক্ষেত্রে মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের বা আকার-আয়তনের ওপর নির্ভরশীল নয়। সুতরাং মুক্তিবেগ বস্তু নিরপেক্ষ। তাই পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে নিক্ষিপ্ত সকল বস্তুর মুক্তিবেগ অভিন্ন।

দেওয়া আছে,
পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8{\text{ m s}}^{-2}$
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R=6400\text{ km}=6400\times {10}^3\text{ m}$
ভূপৃষ্ঠ হতে উপগ্রহটির উচ্চতা, $h=700\text{ km}=700\times {10}^3\text{ m}$
$h$উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g^{\prime }=?$

আমরা জানি
ভূপৃষ্ঠ হতে $h$ উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের সমীকরণ: $g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$

বা, $g^{\prime }=9.8\times {\left(\frac{6400\times {10}^3}{6400\times {10}^3+700\times {10}^3}\right)}^2$

বা, $g^{\prime }=9.8\times {\left(\frac{6400}{7100}\right)}^2$

বা, $g^{\prime }=9.8\times {\left(\frac{64}{71}\right)}^2$
বা, $g^{\prime }=9.8\times (0.9014{)}^2$
বা, $g^{\prime }=9.8\times 0.8125$
বা, $g^{\prime }=7.9625{\text{ m s}}^{-2}$
উদ্দীপকে উল্লিখিত উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান $7.96{\text{ m s}}^{-2}$ (প্রায়)।

এখানে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ,

$R=6400\mathrm{km}$

$=6.4\times {10}^{6}m$

ভূপৃষ্ঠ হতে উচ্চতা, $h=700\mathrm{km}=7\times {10}^{5}m$

ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8{\mathrm{ms}}^{-2}$

আমরা জানি, কৃত্রিম উপগ্রহের পর্যায়কাল, $T=2\pi \sqrt{\frac{(R+h{)}^3}{\mathrm{GM}}}$.

এখন, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$ হলে,

$g=\frac{GM}{R^2}$

বা, $GM=g{R}^2$

∴ (i) নং হতে পাই, $T=2\pi \sqrt{\frac{(R+h{)}^3}{{\mathrm{gR}}^2}}$

$=2\pi \sqrt{\frac{{(6.4\times {10}^6+7\times {10}^5)}^3}{9.8\times {(6.4\times {10}^6)}^2}}$

$=5933s=\frac{5933}{3600}h=1.648h$

সুতরাং, $700km$ উচ্চতায় কৃত্রিম উপগ্রহটি ভূস্থির উপগ্রহ হিসেবে পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করবে না।

ধরি, উপগ্রহটিকে ভূ-পৃষ্ঠ হতে $h$ উচ্চতায় স্থাপন করা হলে, সেটি ভূ-স্থির উপগ্রহে পরিণত হবে।

এখানে,

ভূস্থির উপগ্রহের পর্যায়কাল,

$\hat{T}=24\mathrm{hr}$

$=24\times 3600=86400s$

অতএব, ভূস্থির উপগ্রহের উচ্চতা,

$h={\left(\frac{{\mathrm{GMT}}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{3}}-R$

$={\left(\frac{{\mathrm{gR}}^2{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{\frac{1}{3}}-R$ [ (ii) নং হতে $\mathrm{GM}={\mathrm{gR}}^2$ বসিয়ে]

$={\left\{\frac{9.8\times {(6.4\times {10}^6)}^2\times (86400{)}^2}{4\times (3.1416{)}^2}\right\}}^{\frac{1}{3}}-6.4\times {10}^6$

$=3.594\times {10}^{7}m=35940\mathrm{km}$

সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লেখিত উপগ্রহের উচ্চতা $(35940-700)km=35240km$ বৃদ্ধি করলে সেটি ভূস্থির উপগ্রহে পরিণত হবে।