সৃজনশীলঃ ‘পৃথিবীর কেন্দ্র হতে…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, সরল ছন্দিত স্পন্দন সম্পন্ন কোনো কণার ত্বরণ সাম্যাবস্থা থেকে এর সরণের সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী।

সম্পর্কটির গাণিতিক রূপটি হলো $a\propto -x$ বা, $a=-kx$ 

এই সমীকরণটিকে গ্রাফে রূপ দিলে গ্রাফটি দাঁড়ায়- অর্থাৎ, গ্রাফটি একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা যার ঢাল ঋণাত্মক। সরণ ধনাত্মক হলে ত্বরণ ঋণাত্মক হয় এবং সরণ ঋণাত্মক হলে ত্বরণ ধনাত্মক হয়।

এখানে, দোলকের বিস্তার, A = 5 cm = 0.05 m

পর্যায়কাল, T = 2 s..........................[সেকেন্ড দোলক]

∴ কৌণিক বেগ, $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2s}=\pi \mathrm{rad}{s}^{-1}$

এখন, পৃথিবী পৃষ্ঠে সেকেন্ড দোলকটির ভরের সর্বোচ্চ বেগ,

$v_{max}=\omega A=\pi \mathrm{rad}{s}^{-1}\times 0.05m=0.157m{s}^{-1}$

অতএব, পৃথিবী পৃষ্ঠে সেকেন্ড দোলকটির ভরের সর্বোচ্চ বেগ 0.157 m s¯¹।

এখানে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = 6400 km = 6.4 × 10⁶ m

পৃথিবী পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 m s-²

পৃথিবী পৃষ্ঠে পর্যায়কাল, T = 2 s................. [সেকেন্ড দোলক]

পৃথিবীর কেন্দ্র হতে A অবস্থানের দূরত্ব, $d_1=\frac{2R}{3}$

d₁ < R হওয়ায় A অবস্থান পৃথিবীর অভ্যন্তরে।

∴ ভূপৃষ্ঠ হতে A অবস্থানের গভীরতা, $d=R-d_1=R-\frac{2R}{3}=\frac{R}{3}$

আবার, পৃথিবীর কেন্দ্র হতে B অবস্থানের দূরত্ব, $d_2=\frac{4R}{3}$

d₂ > R হওয়ায় B অবস্থান পৃথিবীর বাইরে।

∴ ভূপৃষ্ঠ হতে B অবস্থানের উচ্চতা, $h=d_2-R=\frac{4R}{3}-R=\frac{R}{3}$

সেকেন্ড দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য L হলে,

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

বা, $T^2=4{\pi }^2\frac{L}{g}$

বা, $L=\frac{T^2\times g}{4{\pi }^2}$
বা, $L=\frac{(2s{)}^2\times 9.8m{s}^{-2}}{4{\pi }^2}=0.993m$

A অবস্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$\begin{array}{cc}{g}_A& =g(1-\frac{d}{R})=g\times (1-\frac{\frac{R}{3}}{R})\\ & =g\times \frac{2}{3}=9.8m{s}^{-2}\times \frac{2}{3}\\ & =6.5333m{s}^{-2}\end{array}$

∴ A অবস্থানে সরল দোলকের পর্যায়কাল,

$T_A=2\pi \sqrt{\frac{L}{g_A}}=2\pi \times \sqrt{\frac{0.993m^{-2}}{6.5333m{s}^{-2}}}=2.45s$

আমরা জানি, 1 দিন = 86400 s

যেহেতু T < T_A সুতরাং A বিন্দুতে দোলকটি ধীরে যাবে বা সময় হারাবে। দোলকটি দিনে n সেকেন্ড সময় হারালে,

$T_A=\frac{2\times 86400s}{86400s-n}$

বা, $86400s-n=\frac{2\times 86400s}{T_A}$
বা, $n=86400s-\frac{2\times 86400s}{2.45s}=15869.38776s$

আবার, B অবস্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$\begin{array}{cc}{T}_B& =2\pi \sqrt{\frac{L}{g_B}}\\ & =2\pi \times \sqrt{\frac{0.993m}{5.5125m{s}^{-2}}}=2.6667s\end{array}$

যেহেতু, T_B > T সুতরাং B বিন্দুতে দোলকটি সময় হারাবে। দোলকটি দিনে n' সেকেন্ড সময় হারালে,

$\begin{array}{cc}{n}^{\prime }& =86400s-\frac{2\times 86400s}{T_B}\\ & =86400s-\frac{2\times 86400s}{2.6667s}\\ \therefore n^{\prime }& =21600.80999s\end{array}$

উপরের গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, n≠n'

সুতরাং, উদ্দীপকের সেকেন্ড দোলকটি A ও B অবস্থানে নিয়ে গেলে দিনে একই পরিমাণ সময় হারাবে না।