সৃজনশীলঃ ‘p=sin⁡(2tan−1⁡1−x1+x),q=sin2⁡[ln⁡(sec⁡x)]y=(ex+e−x)sin⁡x.…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

১ম অংশ:

দেওয়া আছে, $p=\sin \{2{\tan }^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\}$

ধরি, $x=\cos \theta$ বা, $\theta ={\cos }^{-1}x$

$\therefore p=\sin \{2{\tan }^{-1}\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\}=\sin \{2{\tan }^{-1}\sqrt{\frac{2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}}\}$

$=\sin \{2{\tan }^{-1}\tan \frac{\theta }{2}\}=\sin (2\cdot \frac{\theta }{2})=\sin \theta$

বা, $p=\sin ({\cos }^{-1}x)$

বা, $\frac{dy}{dp}=\frac{d}{dx}\{\sin ({\cos }^{-1}x)\}=\cos ({\cos }^{-1}x)\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\therefore \frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dx}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

নির্ণেয় $\frac{dp}{dx}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$.

২য় অংশ: $q={\sin }^2[\ln (\sec x\left)\right]$

$x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dq}{dx}=\frac{d}{dx}[{\sin }^2\{\ln (\sec x)\left\}\right]$

$=2\sin \{\ln (\sec x\left)\right\}\frac{d}{dx}[\sin \{\ln (\sec x)\left\}\right]$

$=2\sin \{\ln (\sec x\left)\right\}\cdot \cos \{\ln (\sec x\left)\right\}\frac{d}{dx}\{\ln (\sec x\left)\right\}$

$=\sin \{2\ln (\sec x\left)\right\}\cdot \frac{1}{\sec x}\frac{d}{dx}(\sec x)$

$=\sin \{2\ln (\sec x\left)\right\}\cdot \frac{\sec x\tan x}{\sec x}$

$=\tan x\cdot \sin \{2\ln (\sec x\left)\right\}.$

দেওয়া আছে, $y=(e^x+e^{-x})\sin x$

বা, $y_1=(e^x+e^{-x})\cos x+(e^x-e^{-x})\sin x$

বা, ${\dot{y}}_2=(e^x+e^{-x})(-\sin x)+(e^x-e^{-x})\cos x$

$+(e^x-e^{-x})\cos x+(e^x+e^{-x})\sin x$

বা, $y_2=2(e^x-e^{-x})\cos x$

বা, $y_3=2\left[(e^x-e^{-x})\right(-\sin x)+(e^x+e^{-x})\cos x]$

বা, $y_4=2[-\{(e^x-e^{-x})\cos x-(e^x+e^{-x})\sin x\}$

$+(e^x+e^{-x})(-\sin x)+(e^x-e^{-x})\cos x]$

বা, $y_4=2[-(e^x-e^{-x})\cos x-(e^x+e^{-x})\sin x$

$-(e^x+e^{-x})\sin x+(e^x-e^{-x})\cos x]$

বা, $y_4=-2.2(e^x+e^{-x})\sin x$

বা, $y_4=-4y$ বা, $y_4+4y=0$

$\therefore \frac{d^{4}y}{d{x}^4}+4y=0$. (দেখানো হলো)