সৃজনশীলঃ ‘p=sin⁡θ এবং Q=cos⁡θ.…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$p = \sin θ$ এবং $Q = \cos θ$ .

উত্তর:

$\tan (- \frac{25 π}{6}) = - \tan (\frac{25 π}{6}) [∵ \tan (- θ) = - \tan θ]$

$= - \tan (4 π + \frac{π}{6}) = - \tan (8 \times \frac{π}{2} + \frac{π}{6})$

এখানে, $n = 8$ এবং $(8 \times \frac{π}{2} + \frac{π}{6})$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

$∴ - \tan (8 \times \frac{π}{2} + \frac{π}{6}) = - \tan \frac{π}{6} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান : $- \frac{1}{\sqrt{3}}$

উত্তর:

দেওয়া আছে, $P = \sin θ$ এবং $Q = \cos θ$

বামপক্ষ $= \frac{Q - P + 1}{Q + P - 1}$

$= \frac{\cos θ - \sin θ + 1}{\cos θ + \sin θ - 1}$

$= \frac{\sin θ (\frac{\cos θ}{\sin θ} - 1 + \frac{1}{\sin θ})}{\sin θ (\frac{\cos θ}{\sin θ} + 1 - \frac{1}{\sin θ})}$

$= \frac{\cot θ - 1 + cosec θ}{\cot θ + 1 - cosec θ} = \frac{cosec θ + \cot θ - 1}{\cot θ + 1 - cosec θ}$

$= \frac{cosec θ + \cot θ - (cosec θ - \cot^{2} θ)}{\cot θ + 1 - cosec θ} [∵ {cosec}^{2} θ - \cot^{2} θ = 1]$

$= \frac{cosec θ + \cot θ - (cosec θ + \cot θ) (cosec θ - \cot θ)}{\cot θ + 1 - cosec θ}$

$= \frac{(cosec θ + \cot θ) (1 - cosec θ + \cot θ)}{1 - cosec θ + \cot θ}$

$= cosec θ + \cot θ$

$= \frac{1}{\sin θ} + \frac{\cos θ}{\sin θ} [∵ cosec θ = \frac{1}{\sin θ}$ এবং $\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}]$

$= \frac{1 + \cos θ}{\sin θ} = \frac{\sin θ (1 + \cos θ)}{\sin θ \cdot \sin θ} = \frac{\sin θ (1 + \cos θ)}{\sin^{2} θ}$

$= \frac{\sin θ (1 + \cos θ)}{1 - \cos^{2} θ} [∵ \sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ]$

$= \frac{\sin θ (1 + \cos θ)}{(1 + \cos θ) (1 - \cos θ)} = \frac{\sin θ}{1 - \cos θ} =$ ডানপক্ষ

$∴ \frac{Q - P + 1}{Q + P - 1} = \frac{\sin θ}{1 - \cos θ} .$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $P = \sin θ$ এবং $Q = \cos θ$

এখন, $2 PQ = Q$ হলে,

$2 \sin θ \cos θ = \cos θ$

বা, $2 \sin θ \cos θ - \cos θ = 0$

বা, $\cos θ (2 \sin θ - 1) = 0$

হয়, $\cos θ = 0$

বা, $\cos θ = \cos \frac{π}{2}, \cos \frac{3 π}{2}$

$∴ θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

অথবা, $2 \sin θ - 1 = 0$

বা, $2 \sin θ = 1$

বা, $\sin θ = \frac{1}{2} = \sin \frac{π}{6}, \sin (π - \frac{π}{6})$

বা, $\sin θ = \sin \frac{π}{6}, \sin \frac{5 π}{6}$

$∴ θ = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

$0 \leq θ \leq 2 π$ ব্যবধিতে $θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$

নির্ণেয় মান : $θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$ .

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর