সৃজনশীলঃ ‘psin2⁡θ+qcos2⁡θ=8.…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $p{\sin }^2\theta +q{\cos }^2\theta =8$

এখন, $p=11$ এবং $q=7$ হলে,

$11{\sin }^2\theta +7{\cos }^2\theta =8$

বা, ${\cos }^2\theta (11\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+7)=8$

বা, ${\cos }^2\theta (11{\tan }^2\theta +7)=8[\because \frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta ]$

বা, $11{\tan }^2\theta +7=\frac{8}{{\cos }^2\theta }$

বা, $11{\tan }^2\theta +7=8{\sec }^2\theta [\because \frac{1}{\cos \theta }=\sec \theta ]$

বা, $11{\tan }^2\theta +7=8(1+{\tan }^2\theta )[\because {\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta ]$

বা, $11{\tan }^2\theta +7=8+8{\tan }^2\theta$

বা, $11{\tan }^2\theta -8{\tan }^2\theta =8-7$

বা, $3{\tan }^2\theta =1$

বা, ${\tan }^2\theta =\frac{1}{3}$

বা, $\tan \theta =\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

$\therefore \tan \theta =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $p{\sin }^2\theta +q{\cos }^2\theta =8$

এখন, $p=9$ এবং $q=5$ হলে, $9{\sin }^2\theta +5{\cos }^2\theta =8$

বা, $9{\sin }^2\theta +5(1-{\sin }^2\theta )=8[\because {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta ]$

বা, $9{\sin }^2\theta +5-5{\sin }^2\theta =8$

বা, $4{\sin }^2\theta =8-5=3$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{3}{4}\therefore \sin \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

এখন, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ হলে,

১ম চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{\pi }{3}$

২য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (\pi -\frac{\pi }{3})=\sin \frac{2\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{2\pi }{3}$

আবার, $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ হলে,

৩য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\sin \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (\pi +\frac{\pi }{3})=\sin \frac{4\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{4\pi }{3}$

৪র্থ চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{3})=\sin \frac{5\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{5\pi }{3}$

নির্ণেয় সমাধান : $\theta =\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$.