সৃজনশীলঃ ‘P=tan⁡θ+sec⁡(−θ)cot⁡θ+cosec(−θ) এবং Q=sin⁡θ+1cos⁡θ…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ২০২৬ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\sin \theta$
$A=\frac{5}{13}$ হলে, $\sin \theta =\frac{5}{13}$
এখন, $\sin \theta =\frac{5}{13}$ এবং $\cos \theta$
ঋণাত্মক। সুতরাৎ, θ কোণের অবস্থান দ্বিতীয় চতুর্ভাগে।
অর্থাৎ, $\sin \theta =\frac{5}{13}=\frac{y}{r}$ 

$\begin{array}{cc}\therefore & y=5,r=13\\ \therefore & x=\sqrt{r^2-y^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=\pm 12\end{array}$ 

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে x ঋণাত্মক, $\therefore x=-12$ ব

$\begin{array}{cc}\therefore & \tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{5}{-12}=-\frac{5}{12}\\ & \sec (-\theta )=\sec \theta =\frac{r}{x}=\frac{13}{-12}=-\frac{13}{12}\\ & \cot \theta =\frac{x}{y}=-\frac{12}{5}\\ & \mathrm{cosec}(-\theta )=-\mathrm{cosec}\theta =-\frac{r}{y}=-\frac{13}{5}\end{array}$ 

বামপক্ষ $=\frac{\tan \theta +\sec (-\theta )}{\cot \theta +\mathrm{cosec}(-\theta )}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{\tan \theta +\sec \theta }{\cot \theta -\mathrm{cosec}\theta }\\ & =\frac{-\frac{5}{12}-\frac{13}{12}}{-\frac{12}{5}-\frac{13}{5}}=\frac{\frac{-5-13}{12}}{\frac{-12-13}{5}}=\frac{-\frac{18}{12}}{\frac{-25}{5}}=(-\frac{18}{12})\times \left(\frac{-5}{25}\right)\end{array}$ 

$=\frac{3}{10}=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \frac{\tan \theta +\sec (-\theta )}{\cot \theta +\mathrm{cosec}(-\theta )}=\frac{3}{10}$. (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $B=\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }$
$B=\sqrt{3}$ হলে, $\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }=\sqrt{3}$
বা, $1+\sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta$
বা, $(1+\sin \theta {)}^2=(\sqrt{3}\cos \theta {)}^2$ [বর্গ করে]
বা, $1+2\sin \theta +{\sin }^2\theta =3{\cos }^2\theta$
বা, $1+2\sin \theta +{\sin }^2\theta =3(1-{\sin }^2\theta )[\because {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta ]$
বা, $1+2\sin \theta +{\sin }^2\theta =3-3{\sin }^2\theta$
বা, $1+2\sin \theta +{\sin }^2\theta -3+3{\sin }^2\theta =0$
বা, $4{\sin }^2\theta +2\sin \theta -2=0$
বা, $2{\sin }^2\theta +\sin \theta -1=0$
বা, $2{\sin }^2\theta +2\sin \theta -\sin \theta -1=0$
বা, $2\sin \theta (\sin \theta +1)-1(\sin \theta +1)=0$
বা, $(\sin \theta +1)(2\sin \theta -1)=0$ 

হয়, $\sin \theta +1=0$
বা, $\sin \theta =-1$ 

অথবা, $2\sin \theta -1=0$
বা, $\sin \theta =\frac{1}{2}$ 

$\sin \theta =-1$ হলে, 

$\begin{array}{cc}& \sin \theta =-1=\sin \frac{3\pi }{2}\\ & \therefore \theta =\frac{3\pi }{2}\end{array}$ 

আবার, $\sin \theta =\frac{1}{2}$ হলে,
প্রথম চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin (\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{5\pi }{6}$

$\therefore \theta =\frac{5\pi }{6}$

কিন্তু $\theta =\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$ প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।
$\therefore \theta =\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$ গ্রহণযোগ্য নয়।
নির্ণেয় মান : $\theta =\frac{\pi }{6}$.