সৃজনশীলঃ ‘px2+qx+1=0 ও qx2+px+1=0…’ সরকারি বজ্রমোহন কলেজ ২০২৪ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি,

$p{x}^2+qx+1=0$ এবং $q{x}^2+px+1=0$ সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল $\alpha$ কাজেই $\alpha$দ্বারা সমীকরণের সিদ্ধ হবে।

$\therefore p{\alpha }^2+q\alpha +1=0.....\left(1\right)$

এবং $q{\alpha }^2+p\alpha +1=0.....\left(11\right)$

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে বজ্রগুণন করে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{q-p}=\frac{\alpha }{p-q}=\frac{1}{p^2-q^2}$

$\Rightarrow \frac{{\alpha }^2}{-(p-2)}=\frac{\alpha }{p-q}=\frac{1}{(p+q)(p-q)}$

$\Rightarrow \frac{{\alpha }^2}{-1}=\frac{\alpha }{1}=\frac{1}{p+2}[\because p\ne 2]$

১ম ও ২য় সম্পর্ক হতে পাই, এবং হয় ও ৩য় সম্পর্ক হতে পাই,

$\begin{array}{ccc}\frac{{\alpha }^2}{-1}=\frac{\alpha }{1}& & \frac{\alpha }{1}=\frac{1}{p+2}\\ \Rightarrow \frac{{\alpha }^2}{\alpha }=-1& \Rightarrow x=p+2\\ \Rightarrow \alpha =-1& & \end{array}$

শর্তমতে,

$p+q=-1$

$\therefore p+q+1=0$ (দেখানো হল)

দেওয়া আছে,

$x^3+a{x}^2+bx+c=0.....\left(1\right)$

(i) নং ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয়$\alpha ,B,\gamma$হলে,

$\alpha +\beta +\gamma =-a......\left(ii\right)$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =b.....\left(iii\right)$

$\alpha \beta \gamma =-c.....\left(iv\right)$

$\sum {\alpha }^3={\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$

$={\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3-3\alpha \beta \gamma +3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-\alpha \beta +B\gamma +\gamma \alpha )+3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\left\}\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +B\gamma +\gamma \alpha )-(\alpha B+B\gamma +\gamma \alpha )\}+3\alpha B\gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\left\{\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-3(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\}+3\alpha \beta \gamma$

$=(-a)\left\{\right(-a{)}^2-3\cdot b\}+3(-c)$ [(ii) নং (iii) নং এবং (iv) নং হতে]

$=-a(a^2-3b)-3c$

$=-a^3+3ab-3c$

$=3ab-a^3-3c$