সৃজনশীলঃ ‘P=x−3+y−3+z−3−3x−1y−1z−1 এবং Q(x)=1−8×3…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P=x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}$

$P=0$ হলে, $x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}=0$

বা, $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$

বা, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{y}\right)}^3+{\left(\frac{1}{z}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$

বা, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$

হয়, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=0$

বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{yz+zx+xy}{xyz}=0$

$\therefore xy+yz+zx=0$

অথবা, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$

কিন্তু, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2=0$

বা, $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$

বা, $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$

$\therefore x=y$

$\therefore x=y=z$

${(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2=0$

বা, $\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

$\therefore y=z$

${(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$

বা, $\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=0$

বা, $\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$

$\therefore z=x$

অতএব, $x=y=z$ অথবা $xy+yz+zx=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $Q\left(x\right)=1-8x^3$

$\therefore \frac{7x^2-2}{Q\left(x\right)}=\frac{7x^2-2}{(1-2x)(1+2x+4x^2)}$

ধরি, $\frac{7x^2-2}{(1-2x)(1+2x+4x^2)}\equiv \frac{A}{1-2x}+\frac{Bx+C}{1+2x+4x^2}\dots ..\left(1\right)$

(1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $(1-2x)(1+2x+4x^2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$7x^2-2\equiv A(1+2x+4x^2)+(Bx+C)(1-2x).......\left(2\right)$

(2) নং সমীকরণে $x=\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,

$7\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2=A(1+2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4})+0$

বা, $\frac{7}{4}-2=A(1+1+1)$

বা, $\frac{7-8}{4}=3A$

বা, $-1^{\prime }=12A$

$\therefore A=-\frac{1}{12}.$

(2) নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে $x^2$ ও $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$7=4A-2B$

বা, $2B=4A-7=4\times (-\frac{1}{12})-7[\because A=\frac{-1}{12}]$

$=-\frac{1}{3}-7=\frac{-1-21}{3}=\frac{-22}{3}$

বা, $B=\frac{-22}{3\times 2}=\frac{-11}{3}$

এবং $0=2A+B-2C$

বা, $2C=2A+B$

বা, $2C=2\times (-\frac{1}{12})+(-\frac{11}{3})$

বা, $2C=-\frac{1}{6}-\frac{11}{3}=\frac{-1-22}{6}=\frac{-23}{6}$

বা, $C=\frac{-23}{6\times 2}=\frac{-23}{12}$

এখন, A, B ও C এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}\frac{7x^2-2}{(1-2x)(1+2x+4x^2)}& \equiv \frac{-\frac{1}{12}}{1-2x}+\frac{-\frac{11}{3}x-\frac{23}{12}}{1+2x+4x^2}\\ & =\frac{-1}{12(1-2x)}+\frac{-\frac{44x-23}{12}}{1+2x+4x^2}\\ & =\frac{-1}{12(1-2x)}+\frac{-(44x+23)}{12(1+2x+4x^2)}\end{array}$

$\therefore \frac{7x^2-2}{Q\left(x\right)}=-\frac{1}{12}(\frac{1}{1-2x}+\frac{44x+23}{1+2x+4x^2});$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।