সৃজনশীলঃ ‘px+qy+rz=1p2x+q2y+r2z=a(p3−1)x+(q3−1)y+(r3−1)z=a2…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}=1$

$p^{2}x+q^{2}y+r^{2}z=a$

$(p^3-1)x+(q^3-1)y+(r^3-1)z=a^2$

বা, $\left[\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3-1& q^3-1& r^3-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ a\\ a^2\end{array}\right]$

বা, $AX=B$; যেখানে $A=\left[\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3-1& q^3-1& r^3-1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

এবং $B=\left[\begin{array}{c}1\\ a\\ a^2\end{array}\right]$

এখানে, $p\ne q\ne r$ এবং $\mathrm{Det}\left(A\right)=0$

এখন, $\mathrm{Det}\left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3-1& q^3-1& r^3-1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3& q^3& r^3\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

$=pqr\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\end{array}\right|$

[$\because$ পাশাপাশি দুইটি সারি বা কলাম পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন হয়]

$=(pqr-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\end{array}\right|$

$=(pqr-1)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ p-q& q-r& r\\ p^2-q^2& q^2-r^2& r^2\end{array}\right|$

$[c_1{}^{\prime }=c_1-c_2$ এবং $c_2{}^{\prime }=c_2-c_3$ প্রয়োগ করে]

$=(pqr-1)\left|\begin{array}{cc}p-q& q-r\\ p^2-q^2& q^2-r^2\end{array}\right|$

$=(pqr-1)(p-q)(q-r)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ p+q& q+r\end{array}\right|$

$=(pqr-1)(p-q)(q-r)(q+r-p-q)$

$=(pqr-1)(p-q)(q-r)(r-p)$

এখানে, $\mathrm{Det}\left(A\right)=0$

বা, $(pqr-1)(p-q)(q-r)(r-p)=0$

বা, $pqr-1=0[\because p\ne q\ne r]$

$\therefore pqr=1$ (দেখানো হলো) 

বি.দ্র. উদ্দীপকের বর্ণনায় l, m ও n এর কোনো তথ্য নাই, l, m ও n এর পরিবর্তে যথাক্রমে p, q ও r ধরে সমাধান করা হলো:

খ-হতে প্রাপ্ত, $A=\left[\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3-1& q^3-1& r^3-1\end{array}\right]$

$p=1,q=2$ এবং $r=-1$ হলে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1^2& 2^2& (-1{)}^2\\ 1^3-1& 2^3-1& (-1{)}^3-1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& 4& 1\\ 1-1& 8-1& -1-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& 4& 1\\ 0& 7& -2\end{array}\right]$

$\therefore |A|=[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& 4& 1\\ 0& 7& -2\end{array}\mid$

$=1(-8-7)-2(-2-0)-1(7-0)$

$=-15+4-7=4-22=-18\ne 0$

$A$ এর সহগুণকসমূহ :

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 7& -2\end{array}\right|$

$=-8-7=-15$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -2\end{array}\right|$

$=-(-2-0)=2$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 7\end{array}\right|$

$=7-0=7$

$A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 7& -2\end{array}\right|$

$=-(-4+7)=-3$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -2\end{array}\right|$

$=-2+0=-2$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 7\end{array}\right|$

$=-(7-0)=-7$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 1\end{array}\right|$

$=2+4=6$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right|$

$=-(1+1)=-2$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right|$

$=4-2=2$

$\therefore \mathrm{Adj}A={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}-15& 2& 7\\ -3& -2& -7\\ 6& -2& 2\end{array}\right]}^T=[\begin{array}{cc}-15& -3\\ 2& -2\\ 7& -7\end{array}$

$\begin{array}{c}6\\ -2\\ 2\end{array}]$

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\mathrm{Adj}A=\frac{1}{-18}\left[\begin{array}{ccc}-15& -3& 6\\ 2& -2& -2\\ 7& -7& 2\end{array}\right]=\frac{1}{18}\left[\begin{array}{ccc}15& 3& -6\\ -2& 2& 2\\ -7& 7& -2\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\frac{1}{18}\left[\begin{array}{ccc}15& 3& -6\\ -2& 2& 2\\ -7& 7& -2\end{array}\right]$