সৃজনশীলঃ ‘q(x)=lx2+mx+nr(x)=nx2+mx+1z¯=x+iy…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\overline{z}=x+iy$

$\therefore z=x-iy$

$\therefore |z+3|+|z-3|=10$

$\Rightarrow |x-iy+3|+|x+iy-3|=10$

$\Rightarrow |(x+3)-iy|+|(x-3)+iy|=10$

$\Rightarrow \sqrt{(x+3{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}=10$

$\Rightarrow \sqrt{(x-3{)}^2+y^2}=10-\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}$

$\Rightarrow (x-3{)}^2+y^2={10}^2-2\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}\times 10+(x+3{)}^2+y^2$

$\Rightarrow 20\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=(x+3{)}^2-(x-3{)}^2+100$

$\Rightarrow 20\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=4\cdot x\cdot 3+100$

$\Rightarrow 5\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=(3x+25)$

$\Rightarrow 25\{(x^2+6x+9)+y^2\}=9x^2+150x+625$

$\Rightarrow 16x^2+25y^2+150x+225=150x+625$

$\Rightarrow 16x^2+25y^2=400$

$\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$

নির্দেশিত সঞ্চারপথটি হলো উপবৃত্ত, যার শীর্ষবিন্দু $(\pm a,0)=(\pm 5,0)$

দেওয়া আছে, $r\left(x\right)=0$

$\Rightarrow n{x}^2+mx+l=0.......\left(i\right)$

এবং $q\left(x\right)=0$

$\Rightarrow l{x}^2+mx+n=0......\left(ii\right)$

(i) নং সমীকরণের একটি মূল $2\alpha$ হলে, (ii) নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$

$\therefore$ (i) নং হতে পাই, $n(2\cdot {)}^2+m\cdot 2\alpha +l=0$

$\Rightarrow 4n{\alpha }^2+2m\alpha +l=0......\left(iii\right)$

$\therefore$ (ii) নং হতে পাই, $l{\alpha }^2+m\alpha +n=0\dots$ (iv)

(iii) ও (iv) হতে বজ্রগুণন করে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{2mn-ml}=\frac{\alpha }{l^2-4n^2}=\frac{1}{4mn-2ml}4n]\begin{array}{cccc}2m& l& 4n& 2m\\ m& n& l& m\end{array}$

$\Rightarrow \frac{{\alpha }^2}{m(2n-l)}=\frac{\alpha }{-(4n^2-l^2)}=\frac{1}{2m(2n-l)}$

$\therefore {(4n^2-l^2)}^2=2m^2(2n-l{)}^2$

$\Rightarrow (2n-l{)}^2(2n+l{)}^2=2m^2(2n-l{)}^2=0$

$\Rightarrow (2m-l{)}^2\left\{\right(2m+l{)}^2-2m^2\}=0$

হয়, $(2n-l{)}^2=0$

$\Rightarrow 2n-l=0$ 

$\therefore l=2n$

অথবা, $(2n+l{)}^2-2n^2=0$

$\Rightarrow 2m^2=(l+2n{)}^2$ (প্রমাণিত)