সৃজনশীলঃ ‘Q→=i^−j^+2k^…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

দুই বা ততোধিক ভেক্টর একই রেখা বরাবর বা সমান্তরালে ক্রিয়া করলে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে। সমরেখ ভেক্টরের সংজ্ঞা থেকে এটি স্পষ্ট যে, কেবল দিক এক হলেই দুটি ভেক্টর সমরেখ হয়। কিন্তু আমরা জানি, দুটি ভেক্টর সমান হতে হলে তাদের মান ও দিক সমান এবং তাদেরকে সমজাতীয় হতে হয়। অতএব, সকল সমরেখ ভেক্টর সম ভেক্টর নয়।

এখানে, $\overrightarrow{P}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k};\overrightarrow{Q}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}+\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}=3\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}$

$\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{R}$-@র মধ্যবর্তী কোণ, $\theta =$ ?

এখন, $\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{R}=PR\cdot \cos \theta$
বা, $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{R}}{P\times R}=\frac{2\times 3+(-3)\times (-4)+4\times 6}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+4^2}\times \sqrt{3^2+(-4{)}^2+6^2}}$
বা, $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{6+12+24}{\sqrt{29}\times \sqrt{61}}\right)={3.05}^{\circ }$
অতএব, উদ্দীপকের আলোকে $\theta$-এর মান ${3.05}^{\circ }$ ।

এখানে, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{P}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k};\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{Q}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{R}=3\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}$ ['গ' হতে]

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& -3& 4\\ 3& -4& 6\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}(-18+16)-\hat{j}(12-12)+\hat{k}(-8+9)\\ & =-2\hat{i}+\hat{k}\end{array}$

এরক্ষেত্রফলবর্গএকক$\begin{array}{cc}\therefore △\mathrm{OAC}\text{-এর ক্ষেত্রফল }& =\frac{1}{2}\times |\overrightarrow{\mathrm{OA}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}}|\\ & =\frac{1}{2}\times \sqrt{(-2{)}^2+1^2}=1.118\text{ বর্গ একক }\end{array}$

আবার, $\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& -1& 2\\ 3& -4& 6\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(-6+8)-\hat{j}(6-6)+\hat{k}(-4+3)\\ & =2\hat{i}-\hat{k}\end{array}$

এরক্ষেত্রফলবর্গএকক$\begin{array}{cc}\therefore △\mathrm{OBC}\text{-এর ক্ষেত্রফল }& =\frac{1}{2}\times |\overrightarrow{\mathrm{OB}}\times \overrightarrow{\mathrm{OC}}|\\ & =\frac{1}{2}\times \sqrt{2^2+(-1{)}^2}=1.118\text{ বর্গ একক }\end{array}$

এখানে, $△\mathrm{OAC}$-এর ক্ষেত্রফল + এর$△\mathrm{OBC}-এর$ ক্ষেত্রফল $=(1.118+1.118)$ বর্গ একক = 2.236 বর্গ একক

এবং $\begin{array}{cc}\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}& =\left|\begin{array}{cc}\hat{i}& \hat{j}\\ 2& -3& 4\\ 1& -1& 2\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(-6+4)-\hat{j}(4-4)+\hat{k}(-2+3)\\ & =-2\hat{i}+\hat{k}\end{array}$

$\therefore$ OACB সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}$

= 2.236 বর্গ একক

সুতরাং, $△OAC$  ও $△OBC$-এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক OACB-এর ক্ষেত্রফলের সমান হবে।