সৃজনশীলঃ ‘R=a−3+b−3+c−3−3a−1 b−1c−1 এবং…’ ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বি. দ্র: x,y,z এর পরিবর্তে A,B,C হবে]

দেওয়া আছে, $P=x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}$

$P=0$ হলে, $x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}=0$

বা, $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$

বা, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{y}\right)}^3+{\left(\frac{1}{z}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$

বা, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$

হয়, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=0$

বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{yz+zx+xy}{xyz}=0$

$\therefore xy+yz+zx=0$

অথবা, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$

কিন্তু, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2=0$

বা, $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$

বা, $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$

$\therefore x=y$

$\therefore x=y=z$

${(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2=0$

বা, $\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0$

বা, $\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

$\therefore y=z$

${(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$

বা, $\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=0$

বা, $\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$

$\therefore z=x$

অতএব, $x=y=z$ অথবা $xy+yz+zx=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}$

মনে করি, $\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{\mathrm{Bx}+C}{x^2+1}$....... (1)

(1) নং সমীকরণের উভয় পক্ষকে $(x+1)(x^2+1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$2x\equiv A(x^2+1)+(\mathrm{Bx}+C)(x+1)........\left(2\right)$

বা, $2x\equiv A{x}^2+A+B{x}^2+\mathrm{Cx}+\mathrm{Bx}+C$

বা, $2x\equiv x^2(A+B)+x(B+C)+(C+A)........\left(3\right)$

(2) নং সমীকরণে $x=-1$ বসাই,

$-2=A\times 2+0$

বা, $2A=-2$

বা, $A=-1$

(3) নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে $x^2$ ও $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B=0$

বা, $-1+B=0$

বা, $B=1$

এবং $B+C=2$

বা, $1+C=2$

বা, $C=1$

$\therefore A,B$ ও C এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{x+1}{x^2+1}$

$\therefore \frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{x+1}{x^2+1}-\frac{1}{x+1};$ যা $g\left(x\right)$ এর আংশিক ভগ্নাংশ।