সৃজনশীলঃ ‘…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৪ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

‘ক’ হতে পাই,

$AB$ রেখার সমীকরণ-

$3x+2y-7=0$

$\Rightarrow 2y=-3x+7$

$\Rightarrow y=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$

রেখাটির ঢাল $m_1=-\frac{3}{2}$

ধরি,

রেখাটির সাথে ${45}^{\circ }$ কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখার ঢাল $m_2$ হলে,

$y-y_1=m_2(x-x_1)$ [P বিন্দুগামী]

$\Rightarrow y+1=m_2(x-1)\dots ...\left(1\right)$

যেহেতু রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ${45}^{\circ }$

$\tan {45}^{\circ }=\pm \left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right)$

$\Rightarrow 1=\pm \frac{-\frac{3}{2}-m_2}{1+(-\frac{3}{2})m_2}$

$\Rightarrow 1=\pm \frac{|-3-m_2|}{2-3m_2}$

$\Rightarrow 1=\pm \frac{3+m_2}{2-3m_2}$

(+ve) মান নিয়ে,

$1=\frac{3+m_2}{2-3m_2}$

$\Rightarrow 3+m_2=2-3m_2$

$\Rightarrow m_2+3m_2=2-3$

$\Rightarrow 4m_2=-1$

$\therefore m_2=-\frac{1}{2}$

(1) নং হতে,

$y+1=-\frac{1}{2}(x-1)$

$\Rightarrow 2y+2=-x+1$

$\Rightarrow x+2y+2-1=0$

$\therefore x+2y+1=0$ [ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ]

(-ve) মান निয়ে,

$1=-\frac{3+m_2}{2-3m_2}$

$\Rightarrow -3-m_2=2-3m_2$

$=3m_2-m_2=2+3$

$\Rightarrow 2m_2=5$

$\therefore m_2=\frac{5}{2}$

(1) হতে,

$y+1=\frac{5}{2}(x-1)$

$\Rightarrow 5x-5=2y+2$

$\Rightarrow 5x-2y-5-2=0$

$\therefore 5x-2y-7=0$ [ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ]

‘ক' হতে,

$\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ, $3x+2y-7=0$……….(i)

$\mathrm{AB}$ এর লম্ব রেখার সমীকরণ,

$2x-3y=k$

$=>2x-3y-k=0.......\left(ii\right)$

দেওয়া আছে,

$P(1,-1)$

প্রশ্নমতে,

$\frac{|2.1-3(-1)-k|}{\sqrt{2^2+3^2}}=2$

$=\frac{|2+3-k|}{\sqrt{13}}=2$

$=\frac{|5-k|}{\sqrt{13}}=2$

$=|5-k|=\sqrt{13}$

$\Rightarrow 5-k=\pm 2\sqrt{3}$

(+ve) নিয়ে,

$5-k=+2\sqrt{3}$

$\therefore k=5-2\sqrt{3}$

(ii) হতে,

$2x-3y-(5-2\sqrt{3})=0$

$\therefore 2x-3y+2\sqrt{3}-5=0$

(-ve) নিয়ে,

$5-k=-2\sqrt{3}$

$\therefore 5+2\sqrt{3}=k$[ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ]

(ii) হতে,

$2x-3y-(5-2\sqrt{3})=0$

$\therefore 2x-3y-2\sqrt{3}+5=0$

[ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ] Ans.