সৃজনশীলঃ ‘…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

O(0,0) ও D (-10,0) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু$(\frac{-10}{2},\frac{0+0}{2})=(-5,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $=\frac{|-10|}{2}=5$

$\therefore$ বৃত্তটির সমীকরণ $(x+5{)}^2+(y-0{)}^2=5^2$

(i) নং এ $y=2x$ বসিয়ে পাই

$(x+5{)}^2+(2x{)}^2=5^2$

$x^2+25+10x+4x^2=25$

$\Rightarrow 5x^2+10x=0$

$\Rightarrow x(5x+10)=0$

$\therefore x=0,-2\therefore y=2x=0,-4$

O(0,0) ও C(-2,-4) বিন্দুদ্বয়কে ব্যাসের প্রান্তদ্বয় ধরে বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-0)(x+2)+(y-0)(y+4)=0$

$\Rightarrow x^2+2x+y^2+4y=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+2x+4y=0$ (Ans)

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, $x^2+y^2+2\mathrm{gx}+2fy+c=0$ ........ (1)

(1) নং বৃত্ত $x$ অক্ষকে স্পর্শ কররল,

$g^{g^2}=c$ ....... (2)

(1) নং বৃওটি $A(1,2)$ এবং $B(3,2)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 1+4+2g+4f+c=0$

বা, $5+2g+4f+c=0$ ........ (3)

এবং $9+4+6g+4f+c=0$

বা, $13+6g+4f+c=0$ ........ (4)

(3)নং হতে (4)নং বিয়োগ করে পাই, $-8-4g=0$

$\therefore g=-2$

(2) এ $g=-2$ বসিয়ে পাই, $(-2{)}^2=c$ বা, $c=4$

(3) নং $\because g$ ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$5+2(-2)+4f+4=0$

বা, $4f=-5\therefore f=\frac{-5}{4}$

এখন, (1)নং সমীকরণে $g,f$ এবং c এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2(-2)x+2\left(\frac{-5}{4}\right)y+4=0$

বा, $x^2+y^2-4x-\frac{5}{2}y+4=0$

$\therefore 2x^2+2y^2-8x-5y+8=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $2x^2+2y^2-8x-5y+8=0$