সৃজনশীলঃ ‘…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ, $3y-2x=12$

বা, $\frac{3y}{12}-\frac{2x}{12}=1$

বা, $\frac{y}{4}+\frac{x}{-6}=1$

বা, $\frac{x}{-6}+\frac{y}{4}=1$

$\mathrm{OA}=|-6|=6$ একক

$a=6$

$\mathrm{OB}=|4|=4$ একক

$b=4$

$a>b$

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হবে, $x=\pm \mathrm{ac}$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{\frac{6^2-4^2}{6^2}}=\sqrt{\frac{36-16}{36}}=\sqrt{\frac{20}{36}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

উপকেন্দ্রিক লম্বেকর সমীকরণ, $x=\pm ae=\pm 6\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\therefore x=\pm 2\sqrt{5}$.

নির্ণেয় উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $x+\pm 2\sqrt{5}$

দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

${\mathrm{AA}}^A=8$

বা, $2a=8$

$a=4$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

${\mathrm{SS}}^{\prime }=10$

বা, $2\mathrm{ae}=10$

বা,$e=\frac{10}{2a}=\frac{10}{2\times 4}$

$e=\frac{5}{4}$

আবার, $e=\frac{5}{4}$

বা, $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{4}[\because e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}]$

বা, $1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{25}{16}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=\frac{25}{16}-1$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=\frac{25-16}{16}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=\frac{9}{16}$

বা, $\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$

$\therefore b=\frac{3}{4}\times 4=3$

যেহেতু অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ x অক্ষ বরাবর ও অনুবন্ধী অক্ষ y অক্ষ বরাবর

সুতরাং, অধিবৃত্তটির সমীকরণ,

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

বা,$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$$\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.