সৃজনশীলঃ ‘…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, A ও B বিন্দুতে $24N$ ও $18N$ মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়শীল এবং $\mathrm{AB}=10$ মিটার।

A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়া করলে,

$24\cdot \mathrm{AC}=18\cdot \mathrm{BC}$

বা, $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{24}{18}$

বা, $\frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{AC}}=\frac{24+18}{18}$

বা, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{42}{18}$

বা, $\frac{10}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{3}$

$\therefore \mathrm{AC}=\frac{30}{7}$

আবার, A বিন্দুতে 18 N, B বিন্দুতে 24 N বলের লব্ধি CD = d দূরত্বে D বিন্দুতে ক্রিয়া করলে,

$18.AD=24.BD$

বা, $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{18}{24}$

বা, $\frac{\mathrm{BD}+\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}=\frac{18+24}{24}$.

বা, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{42}{24}$

বা, $\frac{10}{\mathrm{AD}}=\frac{7}{4}$

$\therefore \mathrm{AD}=\frac{40}{7}$

লব্ধির সরণ, $d=\mathrm{CD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AC}=\frac{40}{7}-\frac{30}{7}=\frac{10}{7}$ মিটার।

$\therefore d=\frac{10}{7}$ মিটার। (প্রমাণিত)

ধরি, OX, OY ও OZ বরাবর ক্রিয়ারত $P=6N,Q=9N$

এবং $R=5N$ মানের বলত্রয়ের লব্ধি $F$ এবং এটি OX এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

OX এবং OX এর উপর লম্ব বরাবর বলগুনোর লম্বাংশ নিয়ে পাই,

$F\cos \theta =P\cos {\theta }^{\circ }+Q\cos {120}^{\circ }+R\cos {240}^{\circ }$

$=6\cdot 1+9\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)+5\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)=6-7$

$\therefore F\cos \theta =-1$ ......... (i)

এবং $F\sin \theta =P\sin 0^{\circ }+Q\sin {120}^{\circ }+R\sin {240}^{\circ }$

$=0+9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+5\cdot \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)$

$\therefore F\sin \theta =2\sqrt{3}\dots \dots$.... (ii)

(i) নং ও (ii) নং কে বর্গ করে যোগ করি,

$F^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=(-1{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2=1+12$

বা, $F^2=13$.

$\therefore F=\sqrt{13}N$

(ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{F\sin \theta }{F\cos \theta }=\frac{2\sqrt{3}}{-1}$

বা, $\tan \theta =-2\sqrt{3}$

বা, $\theta ={\tan }^{-1}(-2\sqrt{3})$

বা, $\theta ={180}^{\circ }-{\tan }^{-1}\left(2\sqrt{3}\right)$ [OX বরাবর লম্বাংশের মান ঋণাত্মক বলে]

বা, $\theta ={180}^{\circ }-{73.9}^{\circ }={106.1}^{\circ }$ (প্রায়)

$\therefore \theta ={106.1}^{\circ }$ (প্রায়)

নির্ণয় লব্ধির মান $\sqrt{13}N$ এবং দিক ${106.1}^{\circ }$ (প্রায়)।