সৃজনশীলঃ ‘…’ রাজশাহী কলেজ ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

যেহেতু, $AB$ রেখা $X$ অক্ষকে $A(5,0)$ বিন্দুতে ছেদ করে তাই, $a=5$

এবং $Y$ অক্ষকে $B(0,\frac{25}{7})$ বিন্দুতে ছেদ করে তাই, $b=\frac{25}{7}$

$\therefore \mathrm{AB}$-এর সমীকরণ, $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

বা, $\frac{x}{5}+\frac{y}{\frac{25}{7}}=1$

বা, $\frac{x}{5}+\frac{7y}{25}=1$

বা, $5x+7y=25$

$\therefore 5x+7y-25=0$ ......... (i)

ধরি, (i)নং রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ,

$5x+7y+k=0$ ......... (ii)

এখন, (i) ও (ii)নং রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\frac{|k-(-25\left)\right|}{\sqrt{5^2+7^2}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{|k-(-25\left)\right|}{\sqrt{5^2+7^2}}=5$

বা, $\frac{|k+25|}{\sqrt{25+49}}=5$

বা, $\frac{|k+25|}{\sqrt{74}}=5$

বা, $k+25=\pm 5\sqrt{74}$

বা, $k=-25\pm 5\sqrt{74}$

k-এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$5x+7y-25\pm 5\sqrt{74}=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $5x+7y-25\pm 5\sqrt{74}=0$.

ধরি, $(3,2)$ বিন্দুগামী রেখা

$y-2=m(x-3)$ .......... (i)

যেখানে, ঢাল $=m$

খ-হতে প্রাপ্ত, AB রেখার সমীকরণ,

$5x+7y-25=0$ ...... (ii)

বা, $7y=-5x+25$

বা, $y=-\frac{5}{7}x+\frac{25}{7}$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_1=\frac{-5}{7}$

(i) ও (ii) এর মধ্যবর্তী কোণ, $\phi ={30}^{\circ }$ হলে,

$\tan \phi =\pm \frac{m-m_1}{1+m\cdot m_1}$

বা, $\tan {30}^{\circ }=\pm \frac{m+\frac{5}{7}}{1-m\cdot \frac{5}{7}}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm \frac{7m+5}{7-5m}$

বা, $7-5m=\pm \sqrt{3}(7m+5)$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$7-5m=7\sqrt{3}m+5\sqrt{3}$

বা, $7\sqrt{3}m+5m=7-5\sqrt{3}$

বা, $(7\sqrt{3}+5)m=7-5\sqrt{3}$

$\therefore m=\frac{7-5\sqrt{3}}{7\sqrt{3}+5}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$7-5m=-7\sqrt{3}m-5\sqrt{3}$

বা, $7\sqrt{3}m-5m=-7-5\sqrt{3}$

বা, $(7\sqrt{3}-5)m=-7-5\sqrt{3}$

বা, $m=\frac{-7-5\sqrt{3}}{7\sqrt{3}-5}\therefore m=\frac{7+5\sqrt{3}}{5-7\sqrt{3}}$

(i) নং-এ m এর মান বসিয়ে পাই,

$y-2=\frac{7-5\sqrt{3}}{7\sqrt{3}+5}(x-3)$

বা, $(7\sqrt{3}+5)y-2(7\sqrt{3}+5)=(7-5\sqrt{3})x-3(7-5\sqrt{3})$

বা, $(7-5\sqrt{3})x-(5+7\sqrt{3})y+2(5+7\sqrt{3})-3(7-5\sqrt{3})=0$

$\therefore (7-5\sqrt{3})x-(5+7\sqrt{3})y-11+29\sqrt{3}=0$

এবং $y-2=\frac{7+5\sqrt{3}}{5-7\sqrt{3}}(x-3)$

বা, $(5-7\sqrt{3})y-2(5-7\sqrt{3})=(7+5\sqrt{3})x-3(7+5\sqrt{3})$

বা, $(7+5\sqrt{3})x-(5-7\sqrt{3})y+2(5-7\sqrt{3})-3(7+5\sqrt{3})=0$

$\therefore (7+5\sqrt{3})x-(5-7\sqrt{3})y-11-29\sqrt{3}=0$

নির্ণেয় সমীকরণদ্বয়, $(7-5\sqrt{3})x-(5+7\sqrt{3})y-11+29\sqrt{3}=0$,

$(7+5\sqrt{3})x-(5-7\sqrt{3})y-11-29\sqrt{3}=0$