সৃজনশীলঃ ‘…’ রংপুর সরকারি কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

[বি. দ্র: উদ্দীপকের চিত্রে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক চিত্রানুযায়ী সঠিক নয়। তাই শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক (3,2) এর পরিবর্তে A(2,3) নিয়ে সমাধান দেওয়া হলো]

দেওয়া আছে, পরাবৃতটির উপকেন্দ্র $S(0,3)$ এবং শীর্ষবিন্দু $A(2,3)$

ধরি, পরাবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ ও নিয়ামক $MZ$.

আমরা জানি, পর্যাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ZS এর মধ্যবিন্দু।

ধরি, অকরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $Z(\alpha ,\beta )$

$\therefore \frac{\alpha +0}{2}=2$

বা, $\alpha =4$

এবং $\frac{\beta +3}{2}=3$

বা, $\beta +3=6$

বা, $\beta =6-3=3$

$\therefore \beta =3$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4,3)$

পরাবৃত্তের অকরেখা অর্থাৎ $A$ ও $S$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল,

$m_1=\frac{3-3}{2-0}=0$

আবার, নিয়ামকরেখা অক্ষরেখার ওপর লম্ব বলে, নিয়ামকরেখা অর্থাৎ $\mathrm{MZ}$ রেখার ঢাল, $m_2=\frac{-1}{0}[\because m_1\times m_2=-1]$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $y-3=\frac{-1}{0}(x-4)$

বা, $0=-x+4$

বা, $x-4=0$

এখন, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

বা, ${\mathrm{SP}}^2={\mathrm{PM}}^2$

বা, $(x-0{)}^2+(y-3{)}^2=\frac{(x-4{)}^2}{1}$

বা, $x^2+(y-3{)}^2=x^2-8x+16$

বা, $(y-3{)}^2=-8(x-2)$

ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

[বি. দ্র: উদ্দীপকের চিত্রে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক চিত্রানুযায়ী সঠিক নয়। তাই শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক (3,2) এর পরিবর্তে A(2,3) নিয়ে সমাধান দেওয়া হলো] 

এখানে, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,3)

 S বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,3) 

O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,0)

${\mathrm{OB}}^{\prime }=4$

এবং $AS=A^{\prime }S$

$\mathrm{AS}=\sqrt{(2-0{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{2^2+0}=2$

$\mathrm{OS}=\sqrt{(0-0{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{0+3^2}=3$

$\therefore \mathrm{AS}=A^{\prime }S=2$

$B^{\prime }S=O^{\prime }+OS=4+3=7$

$BS=B^{\prime }S=7$

${\mathrm{BB}}^{\prime }$ কে বৃহৎ অক্ষ এবং ${\mathrm{AA}}^{\prime }$ কে ক্ষুদ্র অক্ষ ধরে অঙ্কিত উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ, $2b={\mathrm{BB}}^{\prime }$

বা, $2b=B^{\prime }S+BS=7+7=14$

$\therefore b=7$

ক্ষুদ্র অক্ষ, $2a={\mathrm{AA}}^{\prime }$

বা, $2a=\mathrm{AS}+A^{\prime }S=2+2=4\therefore a=2$

$\therefore$ উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-0{)}^2}{2^2}+\frac{(y-3{)}^2}{7^2}=1$

বা, যেখানে$\frac{x^2}{2^2}+\frac{(2-3{)}^2}{7^2}=1\text{ যেখানে, }a=2,b=7(a<b)$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{2^2}{7^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{49}}$

$=\sqrt{\frac{49-4}{49}}=\sqrt{\frac{45}{49}}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$

$\therefore$ উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,

$y-3=\pm be=\pm 7\times \frac{3\sqrt{5}}{7}=\pm 3\sqrt{5}$

$\therefore y-3\pm 3\sqrt{5}=0$

নির্ণেয় উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $y-3\pm 3\sqrt{5}=0$.