সৃজনশীলঃ ‘r→=axi^+yj^+2k^;P→=2i^+3j^+4k^;Q→=4i^+4j^−k^…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\hat{j}\times \hat{k}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=\hat{i}(1-0)=\hat{i}$

ও$\hat{j}ও\hat{k}$  হচ্ছে যথাক্রমে Y ও Z-অক্ষ বরাবর আয়ত একক ভেক্টর এবং $\hat{i}$  হচ্ছে X-অক্ষ বরাবর আয়ত একক ভেক্টর। Y-অক্ষ থেকে Z-অক্ষের দিকে একটি ডানহাতি স্কুকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে তা X-অক্ষ বরাবর অগ্রসর হয় তাই $\hat{j}\times \hat{\hat{k}}$ এর দিক ধনাত্মক X-অক্ষ বরাবর। যেহেতু $\hat{j}\times \hat{k}=\hat{i}$ তাই $\hat{j}\times \hat{k}$ এর মান 1 একক।

অতএব, $\hat{j}\times \hat{k}$ একটি একক ভেক্টর।

এখানে,  $\overrightarrow{r}=ax\hat{i}+y\hat{j}+2\hat{k};\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}$

আমরা জানি, $\overrightarrow{r}$ ভেক্টরের ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল হলে,

$\mathrm{Div}\left(\overrightarrow{r}\right)=0$
বা, $\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{r}=0$
বা, $(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\cdot (ax\hat{i}+y\hat{j}+2\hat{k})=0$
বা, $\frac{\partial }{\partial x}\left(ax\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(2\right)=0$
বা, $a+1+0=0$
$\therefore a=-1$

অতএব, a এর মান – 1 হলে $\overrightarrow{r}$ ভেক্টরের ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল হবে।

এখানে, $\overrightarrow{P}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{Q}=4\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$

এখন,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 3& 4\\ 4& 4& -1\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(-3-16)-\hat{j}(-2-16)+\hat{k}(8-12)\\ & =-19\hat{i}+18\hat{j}-4\hat{k}\end{array}$

আবার, 

$\mathrm{curl}(\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q})=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ -19& 18& -4\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}\left\{\frac{\partial }{\partial y}\right(-4)-\frac{\partial }{\partial z}(18\left)\right\}-\hat{j}\left\{\frac{\partial }{\partial x}\right(-4)-\frac{\partial }{\partial z}(-19\left)\right\}+\\ & \hat{k}\left\{\frac{\partial }{\partial x}\right(18)-\frac{\partial }{\partial y}(-19\left)\right\}\\ & =\hat{i}(0-0)-\hat{j}(0-0)+\hat{k}(0-0)=0\end{array}$

এখানে, $\mathrm{curl}(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})=0$
সুতরাং, $\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল।