সৃজনশীলঃ ‘S এর স্থানাঙ্ক…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা = 1

∴ কণিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।

S ও A বিন্দুকে যথাক্রমে পরাবৃত্তের

উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু ধরে পরাবৃত্তের

উপকেন্দ্র S(7, 3) ও

শীর্ষবিন্দু A(-1, 3)

পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু P(x, y), নিয়ামকরেখা MZM' এবং Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β)। যেহেতু SZ এর মধ্যবিন্দু A

সেহেতু $-1=\frac{\alpha +7}{2}$
বা, $\alpha +7=-2$
বা, $\alpha =-2-7$
বা, $\dot{\alpha }=-9$. 

এবং $3=\frac{\beta +3}{2}$
বা,  $\beta +3=6$
বা, $\beta =6-3$
বা, $\beta =3$

$\therefore Z$ বিস্দুর স্থানাভ্ক $(-9,3)$ অক্ষরেখা SZ এর্র সমীকর্রণ,

$y-3=\frac{3-3}{7+9}(x+9)$

বা, $y-3=\frac{0}{16}(x+9)$
বা, $y-3=0$

নিয়ামকরেখা MZM' অক্ররেখা SZ এব্র উপর লম্ব $\therefore$ নিয়ামকরেখা  MZM' এর সমীকরণণ, $x+k=0$ যেহেতু নিয়ামকরেখা  $Z(-9,3)$ বিন্দুগামী

সেহেতু $-9+k=0$
বা, $k=9$
$\therefore$ निয়ামক রেখা ${\mathrm{MZM}}^{\prime }$ এর সমীকরণ, $x+9=0$
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$
বা, $\sqrt{(x-7{)}^2+(y-3{)}^2}=\left|\frac{x+9}{\sqrt{1^2}}\right|$
বা, $(x-7{)}^2+(y-3{)}^2=(x+9{)}^2$
বা,  $x^2-14x+49+y^{-2}-6y+9=x^2+18x+81$
বা,  $x^2-14x+y^2-6y+58=x^2+18x+81$
বা,  $x^2-14x+y^2-6y+58-x^2-18x-81=0$
বা,  y² - 6y-32x-23-0

∴ কনিকটির সমীকরণ, y² - 6y-32x-23-0.

এখানে, S বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, 3) এবং A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1,3)

কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ যেহেতু $0<\frac{\sqrt{3}}{2}<1$ সেহেতু কনিকটি একটি উপবৃত নির্দেশ করে। SA রেখাংশকে উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ধরে

বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য,

$2a=\sqrt{(7+1{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{8^2+0}=8$

বা,  $a=\frac{8}{2}$
বা,  $a=4$
আবার, $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
বা, $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
বা,  $1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$
বা,  $\frac{b^2}{4^2}=1-\frac{3}{4}$
বা,  $\frac{b^2}{16}=\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}$
বা,  $b^2=\frac{16}{4}=4$
বা,  $b=\sqrt{4}$
বা, $b=2$

কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=(\frac{7-1}{2},\frac{3+3}{2})=(\frac{6}{2},\frac{6}{2})=(3,3)$

∴ উপবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{(x-3{)}^2}{a^2}+\frac{(y-3{)}^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{(x-3{)}^2}{4^2}+\frac{(y-3{)}^2}{2^2}=1$
বা, $\frac{(x-3{)}^2}{16}+\frac{(y-3{)}^2}{4}=1$
$\therefore$ কনিকটির সমীকরণ $\frac{(x-3{)}^2}{16}+\frac{(y-3{)}^2}{4}=1$.