সৃজনশীলঃ ‘s=a+b+c2,Δ=ABC এর ক্ষেত্রফল…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $S=\frac{a+b+c}{2}$ এবং $\Delta =\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল

$\Delta \mathrm{ABC}$- এ, $A+B+C=\pi$

বামপক্ষ $=\sin (B+C-A)+\sin (C+A-B)+\sin (A+B-C)$

$=\sin (\pi -A-A)+\sin (\pi -B-B)+\sin (\pi -C-C)$

$[\because A+B+C=\pi ]$

$=\sin (\pi -2A)+\sin (\pi -2B)+\sin (\pi -2C)$

$=\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$

$=2\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin 2C$

$=2\sin (\pi -C)\cos (A-B)+\sin 2C[\because A+B+C=\pi ]$

$=2\sin C\cos (A-B)+2\sin C\cos C$

$=2\sin C[\cos (A-B)+\cos C]$

$=2\sin C[\cos (A-B)+\cos \{\pi -(A+B)\left\}\right][\because A+B+C=\pi ]$

$=2\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B\left)\right]$

$=2\sin C\cdot 2\sin A\sin B=4\sin A\sin B\sin C$

$=4\times \frac{2\Delta }{bc}\times \frac{2\Delta }{ca}\times \frac{2\Delta }{ab}$

$[\because \Delta =\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C]$

$=\frac{32{\Delta }^3}{a^2{b}^2{c}^2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \sin (B+C-A)+\sin (C+A-B)+\sin (A+B-C)=\frac{32{\Delta }^3}{a^2{b}^2{c}^2}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $4s(s-b)=3\mathrm{ca}$

বা, $4\left(\frac{a+b+c}{2}\right)(\frac{a+b+c}{2}-b)=3ca$

বা, $4\{{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)}^2-\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\cdot b\}=3ca$

বা, $4(\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}{4}-\frac{ab+b^2+bc}{2})=3ca$

বা, $4\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-2ab-2b^2-2bc}{4}\right)=3ca$

বা, $a^2+c^2-b^2+2ca=3ca$

বা, $a^2+c^2-b^2=3ca-2ca$

বা, $a^2+c^2-b^2=ca$

বা, $\frac{a^2+c^2-b^2}{2\mathrm{ca}}=\frac{1}{2}$

বা, $\cos B=\cos {60}^{\circ }[\because \cos B^{\circ }=\frac{a^2+c^2-b^2}{2\mathrm{ca}}]$

$\therefore B={60}^{\circ }$

$\therefore \angle B$ এর মান ${60}^{\circ }$.