সৃজনশীলঃ ‘Sinθ=35 এবং A=π12…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\sin \theta =\frac{3}{5}$

যেহেতু $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$, অর্থাৎ কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে সাইন ও কোসিক বাদে অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ঋণাত্মক হয়।

$\cos \theta =-\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$

অতএব,

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=-\frac{4}{3}$

$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }=\frac{5}{3}$

এখন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের জোড়-বিজোড় ফাংশনের নিয়ম ($\cos (-\theta )=\cos \theta$ এবং $\csc (-\theta )=-\csc \theta$) প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{\cot \theta +\cos (-\theta )}{\csc (-\theta )+\tan \theta }=\frac{\cot \theta +\cos \theta }{-\csc \theta +\tan \theta }$

মানগুলো বসিয়ে পাই:

$=\frac{-\frac{4}{3}+(-\frac{4}{5})}{-\frac{5}{3}+(-\frac{3}{4})}$

$=\frac{-\frac{4}{3}-\frac{4}{5}}{-\frac{5}{3}-\frac{3}{4}}$

$=\frac{-\frac{20+12}{15}}{\frac{-20-9}{12}}$

$=\frac{-\frac{32}{15}}{-\frac{29}{12}}$

$=\frac{32}{15}\times \frac{12}{29}$

$=\frac{32\times 4}{5\times 29}[$ হর ও লবকে $3$ দ্বারা কেটে $]$

$=\frac{128}{145}$

L.H.S $=\tan A\tan 3A\tan 5A\tan 7A\tan 11A$

যেখান, $A=\frac{\pi }{12}$

$A={15}^{\circ }$

$\therefore \text{ L.H.S }=\tan {15}^{\circ }\tan {45}^{\circ }\tan {75}^{\circ }\tan {105}^{\circ }\tan {165}^{\circ }$

$=\tan {15}^{\circ }\cdot 1\cdot \tan ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })\tan ({90}^{\circ }+{15}^{\circ })\tan ({180}^{\circ }-{15}^{\circ })$

$=\tan {15}^{\circ }\cdot \cot {15}^{\circ }(-\cot {15}^{\circ })(-\tan {15}^{\circ })$

$=1$

$=R.H.S$