সৃজনশীলঃ ‘sin⁡A=25,cos⁡B=45,cot⁡C=3এবং g(θ)=cos⁡θ−cos⁡7θ.…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sin A=\frac{2}{\sqrt{5}}\therefore A={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\cos B=\frac{4}{5}\therefore B={\cos }^{-1}\frac{4}{5}$

$\cot C=3\therefore C={\cot }^{-1}3$

বামপক্ষ $=A-\frac{1}{2}B+C={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{4}{5}+{\cot }^{-1}3$

ধরি, ${\cos }^{-1}\frac{4}{5}=\theta$

$\therefore \cos \theta =\frac{4}{5}$

$\therefore \sin \theta =\frac{3}{5}$

আবার, $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}$

লবওহরকে$=\frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}\text{ [লব ও হরকে }2\cos \frac{\theta }{2}$ দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\frac{3}{5}}{1+\frac{4}{5}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{5}}=\frac{3}{5}\times \frac{5}{9}=\frac{1}{3}$

$\therefore \tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{3}$

বা, $\frac{\theta }{2}={\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$\therefore \frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{4}{5}={\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

বামপক্ষ $=A-\frac{1}{2}B+C$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{4}{5}+{\cot }^{-1}3$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-{\tan }^{-1}\frac{1}{3}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

$={\tan }^{-1}2$

= ডানপক্ষ

$\therefore A-\frac{1}{2}B+C={\tan }^{-1}$ 2. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(\theta \right)=\cos \theta -\cos 7\theta$

 এখানে, $g\left(\theta \right)=\sin 4\theta$}

বা, $\cos \theta -\cos 7\theta =\sin 4\theta$

বা, $2\sin \frac{7\theta +\theta }{2}\sin \frac{7\theta -\theta }{2}=\sin 4\theta$

বা, $2\sin 4\theta \sin 3\theta -\sin 4\theta =0$

বা, $\sin 4\theta (2\sin 3\theta -1)=0$

হয়, $\sin 4\theta =0$

বা, $4\theta =n\pi ;n\in Z$

$\therefore \theta =\frac{n\pi }{4}$

অথবা, $2\sin 3\theta -1=0$

বা, $\sin 3\theta =\frac{1}{2}$

বা, $\sin 3\theta =\sin \frac{\pi }{6}$

বা, $3\theta =n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$

$\therefore \theta =\frac{n\pi }{3}+(-1{)}^n\frac{\pi }{18}$

নির্ণেয় মান : $\theta =\frac{n\pi }{4},\frac{n\pi }{3}+(-1{)}^n\frac{\pi }{18};$ যেখানে $n\in Z$