সৃজনশীলঃ ‘সমীকরণ জোট :…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ জোট : $tx+uy+vz=5$

$t^{2}x+z^{2}y+v^{2}z=5$

$(t^3-1)x+(u^3-1)y+(v^3-1)z=-5$

$t=1,u=2,v=3$ হলে,

প্রদত্ত সমীকরণ জোট :

$x+2y+3z=5$

$x+4y+9z=5$

$0.x+7y+26z=-5$

$x,y$ ও $z$ এর সহগগুলো নিয়ে গাঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 4& 9\\ 0& 7& 26\end{array}\right|$

$=1(104-63)-2(26-0)+3(7-0)$

$=41-52+21=10$

$\therefore D_x=\left|\begin{array}{ccc}5& 2& 3\\ 5& 4& 9\\ -5& 7& 26\end{array}\right|$

$=5(104-63)-2(130+45)+3(35+20)$

$=205-350+165=20$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 1& 5& 9\\ 0& -5& 26\end{array}\right|$

$=1(130+45)-5(26-0)+3(-5-0)$

$=175-130-15=30$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 1& 4& 5\\ 0& 7& -5\end{array}\right|$

$=1(-20-35)-2(-5-0)+5(7-0)$

$=-55+10+35=-10$

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{20}{10}=2;y=\frac{D_y}{D}=\frac{30}{10}=3$ এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-10}{10}=-1$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(2,3,-1)$.

প্রদত্ত সমীকরণজোটের $x,y,z$ এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক,

$\begin{array}{cc}D& =\left|\begin{array}{ccc}t& u& v\\ t^2& u^2& v^2\\ t^3-1& u^3-1& v^3-1\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}t& u& v\\ t^2& u^2& v^2\\ t^3& u^3& v^3\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}t& u& v\\ t^2& u^2& v^2\\ 1& 1& 1\end{array}\right|\\ & =tuv\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ t& u& v\\ t^2& u^2& v^2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ t& u& v\\ t^2& u^2& v^2\end{array}\right|\end{array}$

[$\therefore$ পাশাপাশি দুইটি সারি বা কলাম পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন হয়]

$=(tuv-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ t& u& v\\ t^2& u^2& v^2\end{array}\right|$

$=(tuv-1)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ t-u& u-v& v\\ t^2-u^2& u^2-v^2& v^2\end{array}\right|$

$[c_1{}^{\prime }=c_1-c_2$ এবং $c_2{}^{\prime }=c_2-c_3$ প্রয়োগ করে ]

$=(tuv-1)\left|\begin{array}{cc}t-u& u-v\\ t^2-u^2& u^2-v^2\end{array}\right|$

$=(tuv-1)(t-u)(u-v)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ t+u& u+v\end{array}\right|$

$=(tuv-1)(t-u)(u-v)(u+v-t-u)$

$=(tuv-1)(t-u)(u-v)(v-t)$

$\therefore D=(tuv-1)(t-u)(u-v)(v-t)$. (প্রমাণিত)