সৃজনশীলঃ ‘সম্প্রতি ডিজি অফিস…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৭ – বিন্যাস ও সমাবেশ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ইউজার আইডি $COMBINATION$ শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে $11$টি।

যাদের মধ্যে $O$ আছে $2$টি, $I$ আছে $2$টি, $N$ আছে $2$টি এবং বাকি ৫টি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন (অর্থাৎ $C,M,B,A,T$ একটি করে)।

সুতরাং, শব্দটিতে মোট ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে $8$ ধরনের ($C,O,M,B,I,N,A,T$)।

শব্দটির বর্ণগুলো হতে প্রতিবার $4$টি করে বর্ণ নিয়ে নিম্নোক্ত ৩টি উপায়ে বাছাই ও সাজানো যায়:

(i) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন হলে:

$8$টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে $4$টি বর্ণ বাছাই করে সাজানোর উপায় $={}^8{P}_4$

$={}^8{C}_4\times 4!=70\times 24=1680$

(ii) ২টি বর্ণ একজাতীয় এবং অপর ২টি ভিন্ন ভিন্ন হলে:

৩ জোড়া সমজাতীয় বর্ণ ($O,I,N$) থেকে ১ জোড়া বাছাই করার উপায় $={}^3{C}_1$

বাকি $7$টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে যেকোনো ২টি বর্ণ বাছাই করার উপায় $={}^7{C}_2$

এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা বা সাজানোর উপায় $={}^3{C}_1\times {}^7{C}_2\times \frac{4!}{2!}$

$=3\times 21\times 12=756$

(iii) ২টি বর্ণ একজাতীয় এবং অপর ২টিও একজাতীয় হলে:

৩ জোড়া সমজাতীয় বর্ণ থেকে যেকোনো ২ জোড়া বাছাই করার উপায় $={}^3{C}_2$

এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা বা সাজানোর উপায় $={}^3{C}_2\times \frac{4!}{2!2!}$

$=3\times \frac{24}{4}=3\times 6=18$ 

$\therefore$ প্রতিবার $4$টি করে বর্ণ নিয়ে মোট সাজানোর উপায় $=1680+756+18=2454$

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা: $2454$

প্রদত্ত পাসওয়ার্ডের অঙ্কগুলো হলো: $1,0,6,5,2$।

এখানে মোট অঙ্ক ৫টি, যাদের মধ্যে কোনো পুনরাবৃত্তি নেই। অঙ্কগুলোকে প্রতি সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে ৫ অঙ্কবিশিষ্ট বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে, শেষ অঙ্কের স্থানে অবশ্যই বিজোড় অঙ্ক বসাতে হবে।

প্রদত্ত অঙ্কগুলোর মধ্যে বিজোড় অঙ্ক আছে ২টি (যথা: $1$ এবং $5$)।

ধাপ ১: মোট বিজোড় সংখ্যা গঠন ($0$-এর অবস্থান বিবেচনা না করে)

শেষ স্থানে এই ২টি বিজোড় অঙ্কের যেকোনো একটি বসানোর উপায় $=2$

শেষ স্থান পূরণ হওয়ার পর বাকি ৪টি স্থান অবশিষ্ট ৪টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করার উপায় $=4!=24$

$\therefore$ শর্ত ছাড়া মোট বিজোড় সংখ্যার বিন্যাস $=2\times 24=48$টি।

ধাপ ২: অর্থপূর্ণ নয় এমন বিজোড় সংখ্যাগুলো বাদ দেওয়া

গঠিত বিজোড় সংখ্যার প্রথম স্থানে $0$ বসলে সংখ্যাটি ৫ অঙ্কের পরিবর্তে ৪ অঙ্কের হয়ে যায় (যা অর্থপূর্ণ নয়)।

প্রথম স্থানে $0$ এবং শেষ স্থানে বিজোড় অঙ্ক নির্দিষ্ট রাখলে,

শেষ স্থানে বিজোড় অঙ্ক বসানোর উপায় $=2$

মাঝের ৩টি স্থান অবশিষ্ট ৩টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করার উপায় $=3!=6$

$\therefore$ প্রথম স্থানে $0$ আছে এমন বিজোড় সংখ্যার পরিমাণ $=2\times 6=12$টি।

$\therefore$ নির্ণেয় অর্থপূর্ণ ৫ অঙ্কবিশিষ্ট বিজোড় সংখ্যা $=48-12=36$টি।

নির্ণেয় অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা: $36$টি।