সৃজনশীলঃ ‘…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(h,k)$

এখন, $(h,k)$ কেন্দ্র এবং $\frac{1}{2}\sqrt{10}$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2={\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)}^2$

$\therefore (x-h{)}^2+(y-k{)}^2=\frac{5}{2}$ ....... (i)

(i) নং বৃত্তটি (1, 1) বিন্দু দিয়ে যায়,

$\therefore (1-h{)}^2+(1-k{)}^2=\frac{5}{2}$

বা, $1-2h+h^2+1-2k+k^2=\frac{5}{2}$

বা, $h^2+k^2-2h-2k+2=\frac{5}{2}$ ....... (ii)

আবার, বৃত্তটির কেন্দ্র $y=3x-7$ রেখার ওপর অবস্থিত।

$\therefore k=3h-7$ ....... (iii)

k-এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$h^2+(3h-7{)}^2-2h-2(3h-7)+2=\frac{5}{2}$

বা, $h^2+9h^2-42h+49-2h-6h+14+2=\frac{5}{2}$

বা, $10h^2-50h+65=\frac{5}{2}$

বা, $2h^2-10h+13=\frac{1}{2}$

বা, $4h^2-20h+25=0$

বা, $(2h-5{)}^2=0$

বা, $2h-5=0$

বা, $2h=5$

$\therefore h=\frac{5}{2}$

h -এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $k=3\cdot \frac{5}{2}-7$

বা, $k=\frac{15}{2}-7=\frac{1}{2}$

এখন h ও k-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

${(x-\frac{5}{2})}^2+{(y-\frac{1}{2})}^2=\frac{5}{2}$

বা, $x^2+y^2-5x-y+\frac{26}{4}=\frac{5}{2}$

বা, $x^2+y^2-5x-y=\frac{5}{2}-\frac{26}{4}$

বা, $x^2+y^2-5x-y=\frac{10-26}{4}$

বা, $x^2+y^2-5x-y=-\frac{16}{4}$

$\therefore x^2+y^2-5x-y+4=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-5x-y+4=0$.

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-2x-4y-4=0$ ........ (i)

বা, $x^2-2x+y^2-4y-4=0$

বা, $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1+4+4$

বা, $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9\pm 3^2$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(1,2)$ এবং ব্যাসাধ, $r=3$.

প্রদত্ত $AB$ রেখার সমীকরণ $y-3x+7=0$. ........ (ii)

(i) নং বৃত্তের স্পর্শক (ii) নং রেখার উপর লম্ব বলে।

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $3y+x+k=0$ ........ (iii)

(iii) নং রেখা (i)নং বৃত্তের স্পর্শক বলে

কেন্দ্র $(1,2)$ হতে স্পর্শকের দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

বা, $\frac{|1+3\cdot 2+k|}{\sqrt{1^2+3^2}}=3$

বা, $\frac{|k+7|}{\sqrt{10}}=3$

বা, $|k+7|=3\sqrt{10}$

বা, $k+7=\pm 3\sqrt{10}$

বা. $k=\pm 3\sqrt{10}-7$

$k$ এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই; $3y+x\pm 3\sqrt{10}-7=0$

$\therefore x+3y\pm 3\sqrt{10}-7=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $x+3y\pm 3\sqrt{10}-7=0$.