সৃজনশীলঃ ‘…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $O(0,0)$

এবং উপকেন্দ্র $S^{\prime }(-4,2)$

ধরি, পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $Z(a,b)$

যেহেতু, MZ এর মধ্যবিন্দু $O(0,0)$

$\therefore \frac{a-4}{2}=0$

বা, $a-4=0$

$\therefore a=4$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,-2)

এবং $\frac{b+2}{2}=0$

বা, $b+2=0$

$\therefore b=-2$

এখ, $S^{\prime }Z$ অক্ষরেখার ঢাল $=\frac{-2-2}{4+4}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$

$\therefore \mathrm{MZ}$ রেখার ঢাল $=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=1\times 2=2\cdot [\because \mathrm{MZ}\perp S^{\prime }Z]$

এখন, Z(4, 2) বিন্দুগামী নিয়ামকরেখার সমীকরণ,

$y+2=2(x-4)$

বা, $y+2=2x-8$ 

বা, $2x-y-8-2=0$

$\therefore 2x-y-10=0........\left(i\right)$

ধরি, পরাবৃত্তের যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

উপরস্থ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $S^{\prime }P=PM$

বা, $\sqrt{(x+4{)}^2+(y-2{)}^2}=\frac{|2x-y-10|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}$

বা, $\sqrt{(x+4{)}^2+(y-2{)}^2}=\frac{|2x-y-10|}{\sqrt{5}}$

বা, $x^2+8x+16+y^2-4y+4=\frac{(2x-y-10{)}^2}{5}$ [বর্গ করে]

বা, $5x^2+5y^2+40x-20y+100=4x^2+y^2+100-4xy+20y-40x$

বা, $5x^2+5y^2+40x-20y+100-4x^2-y^2-100+4xy-20y+40x=0$

$\therefore x^2+4y^2+4xy+80x-40y=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ $x^2+4y^2+4xy+80x-40y=0$.

দেওয়া আছে, উৎকেন্দ্রিকতা $e=\frac{3}{2}$

যেহেতু $e=\frac{3}{2}>1$, সেহেতু কনিকটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $S^{\prime }(-4,2)$ এবং $S(8,2)$ 

উপকেন্দ্রদ্ময়ের দূরত্ব, 

$2ae=S{S}^{\prime }$

বা, $2a\times \frac{3}{2}=|8-(-4)|$

বা, $3a=|8+4|$

বা, $3a=|12|$

বা, $3a=12$

বা, $a=\frac{12}{3}$

বা, $a=4$

$\therefore a^2=16$

আবার, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$.

বা, $\frac{3}{2}=\sqrt{1+\frac{b^2}{16}}$

বা, $\frac{9}{4}=1+\frac{b^2}{16}$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{b^2}{16}=\frac{9}{4}-1$

বা, $\frac{b^2}{16}=\frac{5}{4}$

বা, $b^2=\frac{5}{4}\times 16$

$\therefore b^2=20$

$\therefore$ অধিবৃত্তের কেন্দ্র $\equiv (\frac{-4+8}{2},\frac{2+2}{2})$

$\equiv (\frac{4}{2},\frac{4}{2})\equiv (2,2)$

$\therefore$ অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2b^2}{a}=\frac{2\times 20}{4}=10$ একক 

নির্ণেয় অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 10 একক।